Question

【題目】已知二次函數y＝ax2﹣2x＋3經過點A(﹣3，0)，P是拋物線上的一個動點．

（1）求該函數的表達式；

（2）如圖所示，點P是拋物線上在第二象限內的一個動點，且點P的橫坐標為t，連接AC，PA，PC．求△ACP的面積S關于t的函數關系式，并求出△ACP的面積最大時點P的坐標．

（3）連接BC，在拋物線上是否存在點P，使得∠PCA＝∠OCB？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝－x2－2x＋3；（2），；（3）或(－4，－5)

【解析】

（1）將點A(-3，0)帶入解析式求解即可；

（2）過點P做垂線，則，利用已知A、C點坐標可以求出AC直線的解析式，從而等到P、Q兩點坐標，再利用三角形面積公式求解即可；

（3）做出輔助線，借助三角函數得到∠PCA＝∠OCB的關系，從而得到邊與邊的關系，求解出未知數．

（1）二次函數過點A(-3，0)，代入有0=9a+6+3，a=-1，

故為此函數解析式為；

（2）過點P作PNAO于點N，交AC于點Q，

由（1）知，C(0，3)，設直線AC的解析式為y=kx+b，（k0），將A(-3，0)、C(0，3)代入y=kx+b，得解得，

∴直線AC的解析式為y=x+3，

∵點P在拋物線上，點Q在直線AC上，

∴P(t，)，Q(t，t+3)，

∴PQ==，

；

當時，△ACP的面積最大，；

故S關于t的函數關系式，P；

（3）拋物線上存在點P，使得∠PCA＝∠OCB，

過P點作PDAC，交AC于點D，如圖

已知拋物線方程為，，x=1，即可得到B(1，0)，

則有OB=1，OC=3，，

點P在拋物線上，設點P(a，)，直線AC：y=x+3，則，直線PD過點P，即可求出PD的解析式為，又因為D為PD與AC的交點，聯立方程組有，解得有，即D(，

，

，

∵∠PCA＝∠OCB，

∴，

∴，解得a=-4或a=，

所以存在點P(-4，-5)或．