Question

我們規定：形如 的函數叫做“奇特函數”.當時，“奇特函數”就是反比例函數.
（1） 若矩形的兩邊長分別是2和3，當這兩邊長分別增加x和y后，得到的新矩形的面積為8 ，求y與x之間的函數關系式，并判斷這個函數是否為“奇特函數”；
（2） 如圖，在平面直角坐標系中，點O為原點，矩形OABC的頂點A，C的坐標分別為（9，0）、（0，3）．點D是OA的中點，連結OB，CD交于點E，“奇特函數”的圖象經過B，E兩點.
① 求這個“奇特函數”的解析式；
② 把反比例函數的圖象向右平移6個單位，再向上平移    個單位就可得到①中所得“奇特函數”的圖象.過線段BE中點M的一條直線l與這個“奇特函數”的圖象交于P，Q兩點，若以B、E、P、Q為頂點組成的四邊形面積為，請直接寫出點P的坐標．

Answer 1

（1），是 “奇特函數”；（2）①；②或或或.

解析試題分析：（1）根據題意列式并化為，根據定義作出判斷.
（2）①求出點B，D的坐標，應用待定系數法求出直線OB解析式和直線CD解析式，二者聯立即可得點E 的坐標，將B（9，3），E（3，1）代入函數即可求得這個“奇特函數”的解析式.
②根據題意可知，以B、E、P、Q為頂點組成的四邊形是平行四邊形BPEQ或BQEP，據此求出點P的坐標.
試題解析：（1）根據題意，得，
∵，∴.∴.
根據定義，是 “奇特函數”.
（2）①由題意得，.
易得直線OB解析式為，直線CD解析式為，
由解得.∴點E（3，1）.
將B（9，3），E（3，1）代入函數，得，整理得，解得.
∴這個“奇特函數”的解析式為.
②∵可化為，
∴根據平移的性質，把反比例函數的圖象向右平移6個單位，再向上平移2個單位就可得到.
∴關于點（6，2）對稱.
∵B（9，3），E（3，1），∴BE中點M（6，2），即點M是的對稱中心.
∴以B、E、P、Q為頂點組成的四邊形是平行四邊形BPEQ或BQEP.
由勾股定理得，.
設點P到EB的距離為m，
∵以B、E、P、Q為頂點組成的四邊形面積為，
∴.
∴點P在平行于EB的直線上.
∵點P在上，
∴或.
解得.
∴點P的坐標為或或或.

考點：1.新定義和閱讀理解型問題；2.平移問題；3.反比例函數的性質；4.曲線上點的坐標與方程的關系；5.勾股定理；6.中心對稱的性質；7.平行四邊形的判定和性質；8.分類思想的應用.