Question

【題目】在Rt△ABC中，已知∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，若點E在△ABC內部運動，且滿足AE2＝BE2＋2CE2，則點E的運動路徑長是__________．

Answer 1

【答案】

【解析】

過C作CF⊥CE且CE=CF，可得EF2=2CE2、 ∠ECF=∠ACB=90°、∠CEF=∠CFE=45°；再證明△ACE≌△CFB，可得AE=BF；然后再證FEB=90°，即∠BCE=135°；作△CEB的外接圓，圓心為O，取圓上任意一定G，連接BO、CO、BG、CG，根據四邊形的外接圓的性質可得∠CGB=45°，∠COB=90°；再求得OB的長，最后運用弧長公式解答即可．

解：如圖：過C作CF⊥CE且CE=CF

∴EF2=2CE2，∠ECF=∠ACB=90°，∠CEF=∠CFE=45°

∵∠ACE=∠ACB-∠ECB， ∠BCF=∠ECF-∠ECB，

∴∠ACE=∠BCF

∵在△ACE和△CFB中，AC=BC， ∠ACE=∠BCF，CE=CF

∴△ACE≌△CFB

∴AE=BF

∵AE2＝BE2＋2CE2

∴AE2＝BE2＋EF2

∴BF2＝BE2＋EF2，即∠FEB=90°

∴∠BCE=∠CEF+∠FEB=135°

如圖：作△CEB的外接圓，圓心為O，取圓上任意一定G，連接BO、CO、BG、CG

則⊙O是四邊形CEBG的外接圓

∴∠CGB=180°-∠BCE =45°

∴∠COB=90°

∵BC=4，OB=OC

∴OB=2

∴==

故答案為．