Question

【題目】（1）閱讀理解：如圖①，在四邊形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中點，若AE是∠BAD的平分線，試判斷AB，AD，DC之間的等量關系．

解決此問題可以用如下方法：延長AE交DC的延長線于點F，易證△AEB≌△FEC，得到AB=FC，從而把AB，AD，DC轉化在一個三角形中即可判斷．

AB、AD、DC之間的等量關系為　 　；

（2）問題探究：如圖②，在四邊形ABCD中，AB∥DC，AF與DC的延長線交于點F，E是BC的中點，若AE是∠BAF的平分線，試探究AB，AF，CF之間的等量關系，并證明你的結論．

（3）問題解決：如圖③，AB∥CF，AE與BC交于點E，BE：EC=2：3，點D在線段AE上，且∠EDF=∠BAE，試判斷AB、DF、CF之間的數量關系，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）AD=AB+DC；（2）AB=AF+CF，證明見解析；（3）AB=（CF+DF），證明見解析.

【解析】試題分析：（1）延長AE交DC的延長線于點F，證明△AEB≌△FEC，根據全等三角形的性質得到AB=FC，根據等腰三角形的判定得到DF=AD，證明結論；

（2）延長AE交DF的延長線于點G，利用同（1）相同的方法證明；

（3）延長AE交CF的延長線于點G，根據相似三角形的判定定理得到△AEB∽△GEC，根據相似三角形的性質得到AB=CG，計算即可．

試題解析：（1）如圖①，延長AE交DC的延長線于點F，

∵AB∥DC，∴∠BAF=∠F，

∵E是BC的中點，∴CE=BE，

在△AEB和△FEC中， ，∴△AEB≌△FEC，∴AB=FC，

∵AE是∠BAD的平分線，∴∠DAF=∠BAF，∴∠DAF=∠F，∴DF=AD，∴AD=DC+CF=DC+AB，

故答案為：AD=AB+DC；

（2）AB=AF+CF，

證明如下：如圖②，延長AE交DF的延長線于點G，

∵E是BC的中點，∴CE=BE，

∵AB∥DC，∴∠BAE=∠G，

在△AEB和△GEC中， ，∴△AEB≌△GEC，∴AB=GC，

∵AE是∠BAF的平分線，∴∠BAG=∠FAG，

∵AB∥CD，∴∠BAG=∠G，∴∠FAG=∠G，∴FA=FG，∴AB=CG=AF+CF；

（3）AB=（CF+DF），

證明如下：如圖③，延長AE交CF的延長線于點G，

∵AB∥CF，∴△AEB∽△GEC，∴=，即AB=CG，

∵AB∥CF，∴∠A=∠G，

∵∠EDF=∠BAE，∴∠FDG=∠G，∴FD=FG，∴AB=CG=（CF+DF）．