Question

【題目】小亮在學習中遇到這樣一個問題：

如圖，點是弧上一動點，線段點是線段的中點，過點作，交的延長線于點．當為等腰三角形時，求線段的長度．

小亮分析發現，此問題很難通過常規的推理計算徹底解決，于是嘗試結合學習函數的經驗研究此問題，請將下面的探究過程補充完整：

根據點在弧上的不同位置，畫出相應的圖形，測量線段的長度，得到下表的幾組對應值．

操作中發現：

①"當點為弧的中點時， "．則上中的值是

②"線段的長度無需測量即可得到"．請簡要說明理由；

將線段的長度作為自變量和的長度都是的函數，分別記為和，并在平面直角坐標系中畫出了函數的圖象，如圖所示．請在同一坐標系中畫出函數的圖象；

繼續在同一坐標系中畫出所需的函數圖象，并結合圖象直接寫出：當為等腰三角形時，線段長度的近似值．(結果保留一位小數)．

Answer 1

【答案】（1）①5.0；②見解析；（2）圖象見解析；（3）圖象見解析；3.5cm或5.0cm或6.3cm；

【解析】

（1）①點為弧的中點時，△ABD≌△ACD，即可得到CD=BD；②由題意得△ACF≌△ABD，即可得到CF=BD；

（2）根據表格數據運用描點法即可畫出函數圖象；

（3）畫出的圖象，當為等腰三角形時，分情況討論，任意兩邊分別相等時，即任意兩個函數圖象相交時的交點橫坐標即為BD的近似值．

解：（1）①點為弧的中點時，由圓的性質可得：

，

∴△ABD≌△ACD，

∴CD=BD=5.0，

∴；

②∵，

∴，

∵，

∴△ACF≌△ABD，

∴CF=BD，

∴線段的長度無需測量即可得到；

（2）函數的圖象如圖所示：

（3）由（1）知，

畫出的圖象，如上圖所示，當為等腰三角形時，

①，BD為與函數圖象的交點橫坐標，即BD=5.0cm；

②，BD為與函數圖象的交點橫坐標，即BD=6.3cm；

③，BD為與函數圖象的交點橫坐標，即BD=3.5cm；

綜上：當為等腰三角形時，線段長度的近似值為3.5cm或5.0cm或6.3cm．