Question

【題目】已知正方形中，為對角線上一點，過點作交于點，連接，為的中點，連接．

（1）如圖1，求證：；

（2）將圖1中的繞點逆時針旋轉45°，如圖2，取的中點，連接．問（1）中的結論是否仍然成立？若成立，給出證明；若不成立，請說明理由．

（3）將圖1中的繞點逆時計旋轉任意角度，如圖3，取的中點，連接．問（1）中的結論是否仍然成立？通過觀察你還能得出什么結論？（均不要求證明）

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)見解析.

【解析】

（1）利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可證出CG=EG．
（2）結論仍然成立，連接AG，過G點作MN⊥AD于M，與EF的延長線交于N點；再證明△DAG≌△DCG，得出AG=CG；再證出△DMG≌△FNG，得到MG=NG；再證明△AMG≌△ENG，得出AG=EG；最后證出CG=EG．
（3）結論依然成立．過F作CD的平行線并延長CG交于M點，連接EM、EC，過F作FN垂直于AB于N．由于G為FD中點，易證△CDG≌△MFG，得到CD=FM，又因為BE=EF，易證∠EFM=∠EBC，則△EFM≌△EBC，∠FEM=∠BEC，EM=EC，得出△MEC是等腰直角三角形，就可以得出結論．

（1）在中，為的中點，

∴．

同理，在中，．

∴．

（2）如圖②，（1）中結論仍然成立，即EG=CG．
理由：連接AG，過G點作MN⊥AD于M，與EF的延長線交于N點．
∴∠AMG=∠DMG=90°．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=CD=BC=AB，∠ADG=∠CDG．∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°．
在△DAG和△DCG中，
，
∴△DAG≌△DCG（SAS），
∴AG=CG．
∵G為DF的中點，
∴GD=GF．
∵EF⊥BE，
∴∠BEF=90°，
∴∠BEF=∠BAD，
∴AD∥EF，
∴∠N=∠DMG=90°．
在△DMG和△FNG中，

，
∴△DMG≌△FNG（ASA），
∴MG=NG．
∵∠DA∠AMG=∠N=90°，
∴四邊形AENM是矩形，
∴AM=EN，
在△AMG和△ENG中，
，
∴△AMG≌△ENG（SAS），
∴AG=EG，
∴EG=CG；
（3）如圖③，（1）中的結論仍然成立．
理由：過F作CD的平行線并延長CG交于M點，連接EM、EC，過F作FN⊥AB于N．
∵MF∥CD，
∴∠FMG=∠DCG，∠MFD=∠CDG．∠AQF=∠ADC=90°
∵FN⊥AB，
∴∠FNH=∠ANF=90°．
∵G為FD中點，
∴GD=GF．
在△MFG和△CDG中
，
∴△CDG≌△MFG（AAS），
∴CD=FM．MG=CG．
∴MF=AB．
∵EF⊥BE，
∴∠BEF=90°．
∵∠NHF+∠HNF+∠NFH=∠BEF+∠EHB+∠EBH=180°，
∴∠NFH=∠EBH．
∵∠A=∠ANF=∠AMF=90°，
∴四邊形ANFQ是矩形，
∴∠MFN=90°．
∴∠MFN=∠CBN，
∴∠MFN+∠NFE=∠CBN+∠EBH，
∴∠MFE=∠CBE．
在△EFM和△EBC中
，
∴△EFM≌△EBC（SAS），
∴ME=CE．，∠FEM=∠BEC，
∵∠FEC+∠BEC=90°，
∴∠FEC+∠FEM=90°，
即∠MEC=90°，
∴△MEC是等腰直角三角形，
∵G為CM中點，
∴EG=CG，EG⊥CG．