Question

【題目】如圖，在⊙O中，C，D分別為半徑OB，弦AB的中點，連接CD并延長，交過點A的切線于點E．

（1）求證：AE⊥CE．

（2）若AE=，sin∠ADE=，求⊙O半徑的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）連接OA，如圖，利用切線的性質得∠OAE=90°，再證明CD為△AOB的中位線得到CD∥OA．則可判斷AE⊥CE；

（2）連接OD，如圖，利用垂徑定理得到OD⊥AB，再在Rt△AED中利用正弦定義計算出AD=3，接著證明∠OAD=∠ADE．從而在Rt△OAD中有sin∠OAD=，設OD=x，則OA=3x，利用勾股定理可計算出AD=2x，從而得到2x=3，然后解方程求出x即可得到⊙O的半徑長．

（1）證明：連接OA，如圖，

∵OA是⊙O的切線，

∴AE⊥AB，

∴∠OAE=90°，

∵C，D分別為半徑OB，弦AB的中點，

∴CD為△AOB的中位線．

∴CD∥OA．

∴∠E=90°．

∴AE⊥CE；

（2）連接OD，如圖，

∵AD=CD，

∴OD⊥AB，

∴∠ODA=90°，

在Rt△AED中，sin∠ADE=，

∴AD=3，

∵CD∥OA，

∴∠OAD=∠ADE．

在Rt△OAD中，sin∠OAD=，

設OD=x，則OA=3x，

∴AD==2x，

即2x=3，解得x=3，

∴OA=3x=，

即⊙O的半徑長為．