Question

【題目】對于任意一點 P 和線段 a．若過點 P 向線段 a 所在直線作垂線，若垂足落在線段 a 上，則稱點 P 為線段a 的內垂點．在平面直角坐標系 xOy 中，已知點 A(-1，0)，B(2，0 ) ，C(0，2)．

（1）在點 M（1，0），N（3，2），P（-1，-3）中，是線段 AB 的內垂點的是 ；

（2）已知點 D（-3，2），E（-3，4）．在圖中畫出區域并用陰影表示，使區域內的每個點均為 Rt△CDE三邊的內垂點；

（3）已知直線 m 與 x 軸交于點 B，與 y 軸交于點 C，將直線 m 沿 y 軸平移 3 個單位長度得到直線 n ． 若存在點 Q，使線段 BQ 的內垂點形成的區域恰好是直線 m 和 n 之間的區域（包括邊界），直接寫出點 Q 的坐標．

Answer 1

【答案】（1）M，P；（2）見詳解；（3）（0.5，﹣1.5）或（3.5，1.5）

【解析】

（1）畫圖后根據定義可以判定；

（2）如圖2所示；

（3）分兩種情況：①n在m的下方，②n在m的上方，先確認m和n的解析式，n與x軸的交點為E，作BE的垂直平分線，與n的交點即是Q．

解：（1）如圖1所示：PA⊥AB，垂足為A，過M作AB的垂線，垂足為M，都在線段AB上，

所以線段AB的內垂點的是：M，P；

故答案為：M，P；

（2）如圖2所示，

（3）分兩種情況：

①當n在m的下方時，如圖3，

∵B（2，0），C（0，2）．

設BC的解析式為：y＝kx+b，則，

解得：，

∴m：y＝﹣x+2，

n：y＝﹣x﹣1，

∴E（﹣1，0），

取BE的中點P，過P作BE的垂線交n于Q，

∵P（0.5，0），

∴當x＝0.5時，y＝﹣x﹣1＝﹣1.5，

∴Q（0.5，﹣1.5）；

②當直線n在直線m的上方時，如圖4，則n：y＝﹣x+5，

同理得Q（3.5，1.5）；

綜上，點Q的坐標為（0.5，﹣1.5）或（3.5，1.5）．