Question

【題目】如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于點E.在△ABC外有一點F，使FA⊥AE，FC⊥BC.

（1）求證：BE=CF；

（2）在AB上取一點M，使BM=2DE，連接MC，交AD于點N，連接ME.求證：①ME⊥BC；②DE=DN.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①證明見解析；②證明見解析.

【解析】

試題（1）通過角的轉換和等腰直角三角形的性質，得到∠BAE=∠CAF和∠B=∠FCA，從而ASA證明△ABF≌△ACF，根據全等三角形對應邊相等得到結論.

（2）①過E點作EG⊥AB于點G，通過證明EG是BM的垂直平分線就易得出結論.

②通過證明Rt△AMC≌Rt△EMC和△ADE≌△CDN來證明結論.

試題解析：（1）如圖，∵∠BAC=90°，FA⊥AE，∴∠1+∠EAC=90°，∠2+∠EAC=90°.

∴∠1=∠2.

又∵AB=AC，∴∠B=∠ACB=45°.

∵FC⊥BC，∴∠FCA=90°-∠ACB=45°.∴∠B=∠FCA.

∴△ABF≌△ACF（ASA）.∴BE=CF.

（2）①如圖，過E點作EG⊥AB于點G，

∵∠B=45°，∴△CBE是等腰直角三角形.∴BG=EG，∠3=45°.

∵BM=2DE，∴BM=2BG，即點G是BM的中點.∴EG是BM的垂直平分線.∴∠4=∠3=45°.

∴∠MEB=∠4+∠3=90°.∴ME⊥BC.

②∵AD⊥BC，∴ME∥AD.∴∠5=∠6.

∵∠1=∠5，∴∠1=∠6.∴AM=EM.

∵MC=MC，∴Rt△AMC≌Rt△EMC（HL）.∴∠7=∠8.

∵∠BAC=90°，，AB=AC，∴∠ACB=45°，∠BAD=∠CAD=45°.

∴∠5=∠7=22.5°，AD=CD.

∵∠ADE=∠CDN=90°，∴△ADE≌△CDN（ASA）.∴DE=DN.