Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，BM切⊙O于點B，點P是⊙O上的一個動點（點P不與A，B兩點重合），連接AP，過點O作OQ∥AP交BM于點Q，過點P作PE⊥AB于點C，交QO的延長線于點E，連接PQ，OP，AE．

（1）判斷直線PQ與⊙O的關系；

（2）若直徑AB的長為4．當四邊形AEOP為菱形時，求PE的長．

Answer 1

【答案】（1）相切，理由見解析；（2）

【解析】

（1）根據切線性質可知∠OBQ＝90°，然后根據題意證明∠POQ＝∠BOQ，最后進一步求證，由此利用全等三角形性質即可證明結論；

（2）根據菱形性質可知AP=OP=AE=OE，AD=OD，DE=DP，∠ODP=90°，結合題意通過勾股定理求出，由此進一步分析即可得出答案.

（1）PQ與⊙O相切，理由如下：

∵BM切⊙O于點B，

∴OB⊥BQ，

∴∠OBQ＝90°，

∵PA∥OQ，

∴∠OPA＝∠POQ，∠OAP＝∠BOQ，

∵OA＝OP，

∴∠OPA＝∠OAP，

∴∠POQ＝∠BOQ，

在與中，

∵

∴，

∴∠OPQ＝∠OBQ=90°，

∴直線PQ為⊙O切線；

（2）∵四邊形AEOP為菱形，

∴AP=OP=AE=OE，AD=OD，DE=DP，∠ODP=90°，

∵AB=4，

∴OP=OA=2，

∴OD=1，

∴在中，

∴PE=.