Question

【題目】對平面直角坐標系中的點P（x，y），定義d=|x|+|y|，我們稱d為P（x，y）的幸福指數．對于函數圖象上任意一點P（x，y），若它的幸福指數d≥1恒成立，則稱此函數為幸福函數，如二次函數y=x2+1就是一個幸福函數，理由如下：設P（x，y）為y=x2+1上任意一點，d=|x|+|y|=|x|+|x2+1|，∵|x|≥0，|x2+1|=x2+1≥1，∴d≥1．∴y=x2+1是一個幸福函數．

（1）若點P在反比例函數y=的圖象上，且它的幸福指數d=2，請直接寫出所有滿足條件的P點坐標；

（2）一次函數y=﹣x+1是幸福函數嗎？請判斷并說明理由；

（3）若二次函數y=x2﹣（2m+1）x+m2+m（m＞0）是幸福函數，試求出m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）滿足條件的P點坐標為（﹣1，﹣1）或（1，1）；

（2）一次函數y=﹣x+1是幸福函數，理由見解析；

（3）若二次函數y=x2﹣（2m+1）x+m2+m（m＞0）是幸福函數，m的取值范圍為m≥2．

【解析】試題分析：（1）設點P的坐標為（m， ），根據幸福指數的定義，即可得出關于m的分式方程，解之經檢驗即可得出結論；

（2）設P（x，y）為y＝－x＋1上的一點，分x＜0、0≤x≤1和x＞1三種情況找出d的取值范圍，由此即可得出一次函數y＝－x＋1是幸福函數；

（3）設P（x，y）為y＝x2－(2m＋1)x＋m2＋m上的一點，由y＝x2－(2m＋1)x＋m2＋m＝(x－m)(x－m－1)且m＞0，可知分x≤0、0＜x＜m、m≤x≤m＋1、x＞m＋1四段尋找m的取值范圍，利用配方法以及二次函數的性質結合幸福函數的定義即可求出m的取值范圍，綜上即可得出結論．

試題解析：

解：（1）設點P的坐標為（m， ），

∴d＝|m|＋||＝2，

解得：m1＝﹣1，m2＝1，

經檢驗，m1＝﹣1，m2＝1是原分式方程的解，

∴滿足條件的P點坐標為（﹣1，﹣1）或（1，1）．

（2）一次函數y＝﹣x＋1是幸福函數，理由如下：

設P（x，y）為y＝﹣x＋1上的一點，d＝|x|＋|y|＝|x|＋|﹣x＋1|，

當x＜0時，d＝|x|＋|﹣x＋1|＝﹣x﹣x＋1＝1﹣2x＞1；

當0≤x≤1時，d＝|x|＋|﹣x＋1|＝x﹣x＋1＝1；

當x＞1時，d＝|x|＋|﹣x＋1|＝x＋x﹣1＝2x﹣1＞1．

∴對于y＝﹣x＋1上任意一點P（x，y），它的幸福指數d≥1恒成立，

∴一次函數y＝﹣x＋1是幸福函數．

（3）設P（x，y）為y＝x2－(2m＋1)x＋m2＋m上的一點，d＝|x|＋|y|＝|x|＋|x2﹣(2m＋1)x＋m2＋m|，

∵y＝x2－(2m＋1)x＋m2＋m＝(x－m)(x－m－1)，m＞0，

∴分x≤0、0＜x＜m、m≤x≤m＋1、x＞m＋1考慮．

①當x≤0時，d＝|x|＋|x2﹣(2m＋1)x＋m2＋m|＝﹣x＋x2﹣(2m＋1)x＋m2＋m＝(x﹣m﹣1)2﹣m﹣1，

當x＝0時，d取最小值，最小值為m2＋m，

∴m2＋m≥1，

解得：m≥；

②0＜x＜m時，d＝|x|＋|x2﹣(2m＋1)x＋m2＋m|＝x＋x2﹣(2m＋1)x＋m2＋m ＝(x﹣m)2＋m﹣1≥1，

∵(x﹣m)2≥0，

∴m﹣1≥1，

解得：m≥2；

③當m≤x≤m＋1時，d＝|x|＋|x2﹣(2m＋1)x＋m2＋m|＝x－x2＋(2m＋1)x－m2－m ＝﹣(x﹣m﹣1)2＋m＋1，

當x＝m時，d取最小值，最小值為m，

∴m≥1；

④當x＞m＋1時，d＝|x|＋|x2﹣(2m＋1)x＋m2＋m|＝x＋x2﹣(2m＋1)x＋m2＋m＝(x﹣m)2＋m﹣1＞m≥1，

∴m≥1．

綜上所述：若二次函數y＝x2－(2m＋1)x＋m2＋m（m＞0）是幸福函數，m的取值范圍為m≥2．