Question

【題目】如圖，一次函數y=-2x+4與x軸y軸相交于A，B兩點，點C在線段AB上，且∠COA=45°．

(1)求點A，B的坐標；

(2)求△AOC的面積；

(3)直線OC上有一動點D，過點D作直線l(不與直線AB重合)與x，y軸分別交于點E，F，當△OEF與△ABO全等時，求直線EF的解析式．

Answer 1

【答案】(1)A(2，0)；B(0，4)；(2)S△AOC=；(3)直線EF的解析式為y=-x+2或y=-2x-4或y=2x-4或-2x+4或y=-x-2或y=x-2或y=x+2．

【解析】

(1)求出x=0時y的值和y=0時x的值即可得；

(2)設C(a，-2a+4)，作CM⊥OA，由∠COA=45°知OM=CM，據此可得a=-2a+4，求出a的值后得出CM=OM=，再根據三角形面積公式可得答案；

(3)分E、F在x、y軸的正半軸和負半軸的情況，依據△AOB≌△F1OE1、△AOB≌△E2OF2、△AOB≌△F3OE3得出OE、OF的長，從而得出點E和點F的坐標，再利用待定系數法求解可得．

解：(1)在直線y=-2x+4中，當x=0時y=4，

則B(0，4)，

當y=0時，-2x+4=0，

解得x=2，

則A(2，0)；

(2)設C(a，-2a+4)，

如圖1，過點C作CM⊥OA于點M，

∵∠COA=45°，

∴OM=CM，

則a=-2a+4，

解得a=，

∴CM=OM=，

∴S△AOC=OACM=×2×=；

(3)設直線EF解析式為y=kx+b，

如圖2，

①當△AOB≌△F1OE1時，OB=OE1=4，OA=OF1=2，

則E1(4，0)，F1(0，2)，

代入y=kx+b得，

解得，

此時直線EF解析式為y=-x+2，

同理直線EF關于x軸的對稱直線y=x-2也符合題意；

②當△AOB≌△E2OF2時，OB=OF2=4，OA=OE2=2，

則E2(-2，0)，F2(0，-4)，

代入y=kx+b，得：，

解得

此時直線EF解析式為y=-2x-4，

同理直線EF關于y軸的對稱直線y=2x-4和關于x軸的對稱直線y=-2x+4也符合要求；

③當△AOB≌△F3OE3時，OB=OE3=4，OA=OF3=2，

則E1(-4，0)，F1(0，-2)，

代入y=kx+b，得：，

解得，

此時直線EF解析式為y=-x-2，

同理直線EF關于x軸的對稱直線y=x+2也符合要求；

綜上，直線EF的解析式為y=-x+2或y=-2x-4或y=2x-4或-2x+4或y=-x-2或y=x-2或y=x+2．