Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線的圖象經過和兩點，且與軸交于，直線是拋物線的對稱軸，過點的直線與直線相交于點，且點在第一象限．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）若直線和直線、軸圍成的三角形面積為6，求此直線的解析式；

（3）點在拋物線的對稱軸上，與直線和軸都相切，求點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）或．

【解析】

（1）根據圖象經過M（1，0）和N（3，0）兩點，且與y軸交于D（0，3），可利用待定系數法求出二次函數解析式；
（2）根據直線AB與拋物線的對稱軸和x軸圍成的三角形面積為6，得出AC，BC的長，得出B點的坐標，即可利用待定系數法求出一次函數解析式；
（3）利用三角形相似求出△ABC∽△PBF，即可求出圓的半徑，即可得出P點的坐標．

（1）拋物線的圖象經過，，，

把，，代入得：

解得：，

拋物線解析式為；

（2）拋物線改寫成頂點式為，

拋物線對稱軸為直線，

∴對稱軸與軸的交點C的坐標為

，

，

設點B的坐標為，，

則，

，

∴

∴點B的坐標為，

設直線解析式為：，

把，代入得：，

解得：，

直線解析式為：．

(3)①∵當點P在拋物線的對稱軸上，⊙P與直線AB和x軸都相切，
設⊙P與AB相切于點F，與x軸相切于點C，如圖1；

∴PF⊥AB，AF=AC，PF=PC，
∵AC=1+2=3，BC=4，
∴AB==5，AF=3，
∴BF=2，
∵∠FBP=∠CBA，
∠BFP=∠BCA=90，
∴△ABC∽△PBF，

∴，

∴，

解得：，

∴點P的坐標為(2，)；

②設⊙P與AB相切于點F，與軸相切于點C，如圖2：

∴PF⊥AB，PF=PC，
∵AC=3，BC=4， AB=5，

∵∠FBP=∠CBA，
∠BFP=∠BCA=90，
∴△ABC∽△PBF，

∴，

∴，

解得：，

∴點P的坐標為(2，-6)，

綜上所述，與直線和都相切時，

或．