Question

【題目】已知，菱形ABCD中，E，F分別是對角線BD和邊BC上一點，且滿足∠EAF=∠ABD=．

（1）如圖（1），當=45°時，求證：AF=AE

（2）如圖（2），探究AF與AE的數量關系（用含的銳角三角函數表示）

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）AF=2AEcos

【解析】

（1）連接AC，證明△AFC∽△AED，由相似三角形的性質，即可得到答案；

（2）設AF與BE交于點G，作EH⊥AF于H，由菱形的性質，以及相似三角形的判定和性質，得到AE=EF，由三角函數即可得到答案．

解：（1）連結AC，

當=45°時，

∴∠EAF=∠ABD=45°，

∴四邊形ABCD正方形，

∴∠ACF=∠ADE=∠DAC=45°，

∴∠EAF=∠DAC=45°，

∴∠CAF=∠DAE，

∴△AFC∽△AED ，

∴

∴；

（2）設AF與BE交于點G，

∵∠EAF=∠ABD=

又菱形ABCD

∴∠EAF=∠ABD=∠FBG=

∵∠BGF=∠AGE

∴△AGE∽△BGF

∴，

∵∠BGA=∠FGE

∴△AGB∽△EGF

∴∠EFG=∠ABG=

∴AE=EF

作EH⊥AF于H

∵，

∴AH=AEcos

∴ AF=2AEcos；