Question

【題目】如圖，已知一次函數y=﹣x+b的圖象過點A（0，3），點p是該直線上的一個動點，過點P分別作PM垂直x軸于點M，PN垂直y軸于點N，在四邊形PMON上分別截取：PC=MP，MB=OM，OE=ON，ND=NP．

（1）b=　　；

（2）求證：四邊形BCDE是平行四邊形；

（3）在直線y=﹣x+b上是否存在這樣的點P，使四邊形BCDE為正方形？若存在，請求出所有符合的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）3；（2）證明見解析；（3）在直線y=﹣x+b上存在這樣的點P，使四邊形BCDE為正方形，P點坐標是（2，2）或（﹣6，6）．

【解析】分析：（1）根據待定系數法，可得b的值；（2）根據矩形的判定與性質，可得PM與ON，PN與OM的關系，根據PC=MP，MB=OM，OE=ON，NO=NP，可得PC與OE，CM與NE，BM與ND，OB與PD的關系，根據全等三角形的判定與性質，可得BE與CD，BC與DE的關系，根據平行四邊形的判定，可得答案；（3）根據正方形的判定與性質，可得BE與BC的關系，∠CBM與∠EBO的關系，根據全等三角形的判定與性質，可得OE與BM的關系，可得P點坐標間的關系，可得答案．

本題解析：

（1）一次函數y=﹣x+b的圖象過點A（0，3），

3=﹣×0+b，解得b=3．

故答案為：3；

（2）證明：過點P分別作PM垂直x軸于點M，PN垂直y軸于點N，

∴∠M=∠N=∠O=90°，

∴四邊形PMON是矩形，

∴PM=ON，OM=PN，∠M=∠O=∠N=∠P=90°．

∵PC=MP，MB=OM，OE=ON，NO=NP，

∴PC=OE，CM=NE，ND=BM，PD=OB，

在△OBE和△PDC中，

，

∴△OBE≌△PDC（SAS），

BE=DC．

在△MBC和△NDE中，

，

∴△MBC≌△NDE（SAS），

DE=BC．

∵BE=DC，DE=BC，

∴四邊形BCDE是平行四邊形；

（3）設P點坐標（x，y），

當△OBE≌△MCB時，四邊形BCDE為正方形，

OE=BM，

當點P在第一象限時，即y=x，x=y．

P點在直線上，

，

解得，

當點P在第二象限時，﹣x=y

，

解得

在直線y=﹣x+b上存在這樣的點P，使四邊形BCDE為正方形，P點坐標是（2，2）或（﹣6，6）．