Question

【題目】“分塊計數法”：對有規律的圖形進行計數時，有些題可以采用“分塊計數”的方法．

例如：圖1有6個點，圖2有12個點，圖3有18個點，……，按此規律，求圖10、圖n有多少個點？

我們將每個圖形分成完全相同的6塊，每塊黑點的個數相同（如圖），這樣圖1中黑點個數是6×1=6個；圖2中黑點個數是6×2=12個：圖3中黑點個數是6×3=18個；所以容易求出圖10、圖n中黑點的個數分別是　 　、　 　．

請你參考以上“分塊計數法”，先將下面的點陣進行分塊（畫在答題卡上），再完成以下問題：

（1）第5個點陣中有　 　個圓圈；第n個點陣中有　 　個圓圈．

（2）小圓圈的個數會等于271嗎？如果會，請求出是第幾個點陣．

Answer 1

【答案】60個，6n個；（1）61；3n2﹣3n+1，（2）小圓圈的個數會等于271，它是第10個點陣．

【解析】根據規律求得圖10中黑點個數是6×10=60個；圖n中黑點個數是6n個；

（1）第2個圖中2為一塊，分為3塊，余1，

第2個圖中3為一塊，分為6塊，余1；

按此規律得：第5個點陣中5為一塊，分為12塊，余1，得第n個點陣中有：n×3（n﹣1）+1=3n2﹣3n+1，

（2）代入271，列方程，方程有解則存在這樣的點陣．

圖10中黑點個數是6×10=60個；圖n中黑點個數是6n個，

故答案為：60個，6n個；

（1）如圖所示：第1個點陣中有：1個，

第2個點陣中有：2×3+1=7個，

第3個點陣中有：3×6+1=17個，

第4個點陣中有：4×9+1=37個，

第5個點陣中有：5×12+1=60個，

…

第n個點陣中有：n×3（n﹣1）+1=3n2﹣3n+1，

故答案為：60，3n2﹣3n+1；

（2）3n2﹣3n+1=271，

n2﹣n﹣90=0，

（n﹣10）（n+9）=0，

n1=10，n2=﹣9（舍），

∴小圓圈的個數會等于271，它是第10個點陣．