Question

【題目】如圖，AB是圓O的弦，OA⊥OD，AB，OD相交于點C，且CD=BD．

（1）判斷BD與圓O的位置關系，并證明你的結論；
（2）當OA=3，OC=1時，求線段BD的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OB，

∵OA=OB，DC=DB，

∴∠A=∠ABO，∠DCB=∠DBC，

∵AO⊥OD，

∴∠AOC=90°，即∠A+∠ACO=90°，

∵∠ACO=∠DCB=∠DBC，

∴∠ABO+∠DBC=90°，即OB⊥BD，

則BD為圓O的切線

（2）解：設BD=x，則OD=x+1，而OB=OA=3，

在Rt△OBD中，OB2+BD2=OD2，

即32+x2=（x+1）2，，

解得x=4，

∴線段BD的長是4．

【解析】（1）要證明BD為圓O的切線，連半徑OB，需證OB⊥BD。由已知OA=OB，DC=DB，AO⊥OD，可以得出∠ACO=∠DCB=∠DBC，，即可求證結論。
（2）設BD=x，表示出OD的長，在在Rt△OBD中,根據勾股定理，建立方程，求解即可得到BD的長。
【考點精析】本題主要考查了等腰三角形的性質和勾股定理的概念的相關知識點，需要掌握等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2才能正確解答此題．