Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°，AB=AD=10cm，BC=8cm，點P從點A出發，以每秒2cm的速度沿線段AB向點B方向運動，點Q從點D出發，以每秒3cm的速度沿線段DC向點C運動，已知動點P、Q同時出發，點P到達B點或點Q到達C點時，P、Q運動停止，設運動時間為t (秒)．

（1）求CD的長；

（2）當四邊形PBQD為平行四邊形時，求t的值；

（3）在點P、點Q的運動過程中，是否存在某一時刻，使得PQ⊥AB？若存在，請求出t的值并說明理由；若不存在，請說明理

Answer 1

【答案】（1）16；（2）2；（3）不存在．理由見解析

【解析】（1）作AM⊥CD于M，由勾股定理求AM，再得CD=DM+CM=DM+AB；

（2）由題意：BP=AB﹣AP=10﹣2t．DQ=3t，根據：當BP=DQ時，四邊形PBQD是平行四邊形，可得10﹣2t=3t,可求t；

（3）作AM⊥CD于M，連接PQ．假設存在，則AP=MQ=3t﹣6，即2t=3t﹣6，求出的t不符合題意，故不存在.

解（1）如圖1，作AM⊥CD于M，

則由題意四邊形ABCM是矩形，

在Rt△ADM中，

∵DM2=AD2﹣AM2，AD=10，AM=BC=8，

∴AM=

=6，

∴CD=DM+CM=DM+AB=6+10=16．

（2）當四邊形PBQD是平行四邊形時，點P在AB上，點Q在DC上，

如圖2中，由題意：BP=AB﹣AP=10﹣2t．DQ=3t，

當BP=DQ時，四邊形PBQD是平行四邊形，

∴10﹣2t=3t，

∴t=2，

（3）不存在．理由如下：

如圖3，作AM⊥CD于M，連接PQ．

由題意AP=2t．DQ=3t，

由（1）可知DM=6，∴MQ=3t﹣6，

若2t=3t﹣6， 解得t=6，

∵AB=10，

∴t≤=5，

而t=6＞5，故t=6不符合題意，t不存在．