Question

【題目】如圖，已知直線y＝x+2交x軸、y軸分別于點(diǎn)A、B，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的對(duì)稱軸為直線x＝﹣，且拋物線經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，交x軸于另一點(diǎn)C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)M是拋物線x軸上方一點(diǎn)，∠MBA＝∠CBO，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3）過(guò)點(diǎn)A作AB的垂線交y軸于點(diǎn)D，平移直線AD交拋物線于點(diǎn)E、F兩點(diǎn)，連結(jié)EO、FO．若△EFO為以EF為斜邊的直角三角形，求平移后的直線的解析式．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2﹣x+2．（2）M（﹣，）．（3）平移后的解析式為y＝﹣x﹣1+或y＝﹣x﹣1﹣．

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法即可解決問(wèn)題；

（2）如圖1中，作EA⊥AB交BM的延長(zhǎng)線于E，作EF⊥x軸于F．求出點(diǎn)E坐標(biāo)，再求出直線BE的解析式，利用方程組即可解決問(wèn)題；

（3）如圖2中，當(dāng)直線AD向下平移時(shí)，設(shè)E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2），作EH⊥x軸于H，F(xiàn)G⊥x軸于G．利用相似三角形的性質(zhì)以及根與系數(shù)關(guān)系構(gòu)建方程組即可解決問(wèn)題；

（1）∵直線y＝x+2交x軸、y軸分別于點(diǎn)A、B，

∴A（﹣2，0），B（0，2），

∵拋物線的對(duì)稱軸x＝﹣，A，C關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，

∴C（1，0），

設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x+2）（x﹣1），把（0，2）代入得到a＝﹣1，

∴拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣x+2．

（2）如圖1中，作EA⊥AB交BM的延長(zhǎng)線于E，作EF⊥x軸于F．

∵∠ABE＝∠OBC，∠BAE＝∠BOC＝90°，

∴△BAE∽△BOC，

∴，

∴，

∴AE＝，

∵∠EAF+∠BAO＝90°，∠BAO＝45°，

∴∠EAF＝45°，

∴EF＝AF＝1，

∴E（3，1），

∴直線BE的解析式為y＝﹣x+2，

由，解得或，

∴M（-，）．

（3）如圖2中，當(dāng)直線AD向下平移時(shí)，設(shè)E（x1，y1），F（x2，y2），作EH⊥x軸于H，FG⊥x軸于G．

∵∠EOF=90°=∠PHE=∠OGF，

由△EHO∽△OGF得到：

，

∴，

∴x1x2+y1y2=0，

由，消去y得到：x2+b-2=0，

∴x1x2=b-2，x1+x2=0，y1y2=（-x1+b）（-x2+b）=x1x2+b2，

∴2（b-2）+b2=0，

解得b=-1-或-1+（舍棄），

當(dāng)直線AD向上平移時(shí)，同法可得b=-1+，

綜上所述，平移后的解析式為y=-x-1+或y=-x-1-．