Question

【題目】在一次“構造勾股數”的探究性學習中，老師給出了下表：

其中m、n為正整數，且m>n.

(1)觀察表格，當m=2，n=1時，此時對應的a、b、c的值能否為直角三角形三邊的長?說明你的理由．

(2)探究a，b，c與m、n之間的關系并用含m、n的代數式表示：a=___，b=___，c=___.

(3)以a，b，c為邊長的三角形是否一定為直角三角形?如果是，請說明理由；如果不是，請舉出反例.

Answer 1

【答案】（1）能，理由見解析；（2）m2+n2，2mn，m2-n2；（3）一定，理由見解析.

【解析】

（1）計算出a、b、c的值，根據勾股定理的逆定理即可判斷；
（2）根據給出的數據總結即可；
（3）分別計算出a2、b2、c2，根據勾股定理的逆定理進行判斷．

解：（1）當m=2，n=1時，a=5、b=4、c=3，
∵32+42=52，
∴a、b、c的值能為直角三角形三邊的長；
（2）觀察得，a=m2+n2，b=2mn，c=m2-n2；
（3）以a，b，c為邊長的三角形一定為直角三角形，
∵a2=（m2+n2）2=m4+2m2n2+n4，
b2+c2=m4-2m2n2+n4+4m2n2=m4+2m2n2+n4，
∴a2=b2+c2，
∴以a，b，c為邊長的三角形一定為直角三角形．