Question

【題目】如圖1，在平行四邊形ABCD中，E，F分別在邊AD，AB上，連接CE，CF，且滿足∠DCE=∠BCF，BF=DE，∠A=60°，連接EF．

（1）若EF=2，求△AEF的面積；

（2）如圖2，取CE的中點P，連接DP，PF，DF，求證：DP⊥PF．

Answer 1

【答案】（1） （2）證明見解析

【解析】分析：（1）先證明△CDE≌△CBF，得到CD=CB，可得ABCD是菱形，則AD=AB，由DE=BF得AE=AF，則△AEF是等邊三角形，根據EF的長可得△AEF的面積；

（2）延長DP交BC于N，連結FN，證明△CPN≌△EPD，得到AE=BN，證明△FBN≌△DEF，得到FN=FD，根據等腰三角形三線合一的性質可得結論．

詳解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴∠D=∠B，

∵BF=DE，∠DCE=∠BCF，

∴△CDE≌△CBF（AAS），

∴CD=CB，

∴ABCD是菱形，

∴AD=AB，

∴AD﹣DE=AB﹣BF，即AE=AF，

∵∠A=60°，

∴△AEF是等邊三角形，

∵EF=2，

∴S△AEF=×22=；

（2）證明：如圖2，延長DP交BC于N，連結FN，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AD∥BC，

∴∠EDP=∠PNC，∠DEP=∠PCN，

∵點P是CE的中點，

∴CP=EP．

∴△CPN≌△EPD，

∴DE=CN，PD=PN．

又∵AD=BC．

∴AD﹣DE=BC﹣CN，即AE=BN．

∵△AEF是等邊三角形，

∴∠AEF=60°，EF=AE．

∴∠DEF=120°，EF=BN．

∵AD∥BC，

∴∠A+∠ABC=180°，

又∵∠A=60°，

∴∠ABC=120°，

∴∠ABC=∠DEF．

又∵DE=BF，BN=EF．

∴△FBN≌△DEF，

∴DF=NF，

∵PD=PN，

∴PF⊥PD．