Question

【題目】已知：如圖，⊙O的直徑AB與弦AC的夾角∠A=30°，AC=CP．

（1）求證：CP是⊙O的切線；
（2）若PC=6，AB=4 ，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖，連接OC；

∵OA=OC，AC=CP，

∴∠A=∠OCA=30°，∠P=∠A=30°，

∴∠POC=∠A+∠OCA=60°，

∴∠OCP=180°﹣60°﹣30°=90°，

∴CP是⊙O的切線．

（2）解：∵AB=4 ，

∴OC=OB=2 ，

∴

= × =6 ，

=2π，

∴圖中陰影部分的面積=6 ﹣2π．

【解析】（1）連接OC；由等邊對等角得出∠A=∠OCA=30°，∠P=∠A=30°，利用三角形的外角得出∠POC=∠A+∠OCA=60°，進(jìn)而根據(jù)三角形的內(nèi)角和得出∠OCP=180°﹣60°﹣30°=90°，從而得出結(jié)論；（2）由三角形的面積公式得出S △ O C P = O C P C，由扇形面積公式得出S扇形OBC=2π，圖中陰影部分的面積=S △ O C P-S扇形OBC計算即可。
【考點精析】掌握切線的判定定理和扇形面積計算公式是解答本題的根本，需要知道切線的判定方法：經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；在圓上，由兩條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形；扇形面積S=π（R2-r2）．