Question

【題目】定義：如果一個三角形一條邊上的高與這條邊的比值是，那么稱這個三角形為“準黃金”三角形，這條邊就叫做這個三角形的“金底”．

（1）如圖，在△ABC中，AC=8，BC=5，，試判斷△ABC是否是“準黃金”三角形，請說明理由．

（2）如圖，△ABC是“準黃金”三角形，BC是“金底”，把△ABC沿BC翻折得到△DBC，AD交BC的延長線于點E，若點C恰好是△ABD的重心，求的值．

（3）如圖，，且直線與之間的距離為4，“準黃金”△ABC的“金底”BC在直線上，點A在直線上，=，若∠ABC是鈍角，將△ABC繞點C按順時針方向旋轉得到△，線段交于點D．當點落在直線上時，則的值為____．

Answer 1

【答案】（1）△ABC是“準黃金”三角形；理由見解析；（2）；（3）

【解析】

(1)過點A作AD⊥CB交CB的延長線于D．解直角三角形求出AD即可得出結論．

(2) 根據A，D關于BC對稱，得到BE⊥AD，AE＝ED，根據△ABC是“準黃金”三角形，得到BC是“金底”，再利用C是△ABD的重心求解即可得到答案；

(3) 過點A作AE⊥BC于E，過點D作DF⊥AC于F，過點B′作B′G⊥BC于G．證明△CGB′∽△CFD，推出DF：CF：CD=GB′：CG：CB′=4：3：5，設DF=4k，CF=3k，CD=5k，再求出AD（用k表示）即可解決問題．

解：（1）結論：△ABC是“準黃金”三角形，BC是“金底”．

理由：過點A作AD⊥CB交CB的延長線于D．

∵AC＝8，∠C＝30°，

∴AD＝4，

∴＝

∴△ABC是“準黃金”三角形，BC是“金底”；

（2）如圖，

∵A，D關于BC對稱，

∴BE⊥AD，AE＝ED，

∵△ABC是“準黃金”三角形，BC是“金底”，

∴＝，不妨設AE＝4k，BC＝5k，

∵C是△ABD的重心，

∴BC：CE＝2：1，

∴CE＝ ，BE＝ ，

∴AB＝，

∴；

（3）如圖4中，過點A作AE⊥BC于E，過點D作DF⊥AC于F，過點B′作B′G⊥BC于G．

在Rt△CB′G中，∵∠CGB′=90°，GB′=4，=CB=5，

∴ ，

又∵=，

∴ ，

∴ ，

∴EC=7，

∵∠GCB′=∠FCD=α，∠CGB′=∠CFD=90°，
∴△CGB′∽△CFD，
∴DF：CF：CD=GB′：CG：CB′=4：3：5，
設DF=4k，CF=3k，CD=5k，
∵△AEC∽△DFA，

，

解得： ，

∴AF=7k，

∴

．