Question

【題目】如圖，直線l：y＝﹣m與y軸交于點A，直線a：y＝x+m與y軸交于點B，拋物線y＝x2+mx的頂點為C，且與x軸左交點為D（其中m＞0）．

（1）當AB＝12時，在拋物線的對稱軸上求一點P使得△BOP的周長最小；

（2）當點C在直線l上方時，求點C到直線l距離的最大值；

（3）若把橫坐標、縱坐標都是整數的點稱為“整點”．當m＝2020時，求出在拋物線和直線a所圍成的封閉圖形的邊界上的“整點”的個數．

Answer 1

【答案】（1）△BOP的周長的最小值為6+6；（2）當m＝2時，點C到直線l距離最大，最大值為1；（3）4042個．

【解析】

（1）由已知分別求出，，，；連接BD與對稱軸的交點即為P；求出BD的值即可求的周長的最小值；

（2）點C到直線l距離為，當時，該距離有最大值；

（3）分別求出，，，，時滿足條件的“整數點”的個數，找到規律，由此推理出時，“整數點”的個數．

解：由已知可得A（0，﹣m），B（0，m），

∵y＝x2+mx的頂點為C，

∴C（﹣，﹣），

∵y＝x2+mx與x軸交點為（0，0），（﹣m，0），

∴D（﹣m，0）；

（1）∵AB＝12，

∴m＝6，

∴D（﹣6，0），B（0，6），

∵拋物線的對稱軸為x＝﹣，

∴D與O關于x＝﹣，

連接BD與對稱軸的交點即為P；

∵DP＝OP，

∴△BOP的周長＝BO+BP+PO＝BO+BP+PD＝BO+BD；

∵BD＝6，OB＝6，

∴△BOP的周長的最小值為6+6；

（2）∵點C在直線l上方，

∴點C到直線l距離為﹣﹣（﹣m）＝﹣+m＝﹣（m﹣2）2+1，

當m＝2時，點C到直線l距離最大，最大值為1；

（3）當n＝1時，y＝x+1與y＝x2+x所圍成的封閉圖形的邊界上的“整點”有4個，

當n＝2時，y＝x+2與y＝x2+2x所圍成的封閉圖形的邊界上的“整點”有6個，

當n＝3時，y＝x+3與y＝x2+3x所圍成的封閉圖形的邊界上的“整點”有8個，

當n＝4時，y＝x+4與y＝x2+4x所圍成的封閉圖形的邊界上的“整點”有10個，

……

當n＝2020時，y＝x+2020與y＝x2+2020x所圍成的封閉圖形的邊界上的“整點”有4042個．