Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，對角線AC和BD交于點O，分別過點B、C作BE∥AC，CE∥BD，BE與CE交于點E．

（1）求證：四邊形OBEC是矩形；

（2）當∠ABD=60°，AD=2時，求∠EDB的正切值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】分析：（1）先依據平行四邊形的定義證明四邊形OBEC為平行四邊形，然后再依據矩形的性質得到∠COB=90°，故此四邊形OBEC是矩形；

（2）依據有一個角為60°的等腰三角形是等邊三角形可得到BD=2，然后利用特殊銳角三角函數值可求得AO的長，從而得到BE的長，最后利用銳角三角函數的定義求解即可．

詳解：（1）∵BE∥AC，CE∥BD，∴四邊形OBEC為平行四邊形．

∵ABCD為菱形，∴AC⊥BD，∴∠BOC=90°，∴四邊形OBEC是矩形．

（2）∵AD=AB，∠DAB=60°，∴△ABD為等邊三角形，∴BD=AD=AB=2．

∵ABCD為菱形，∠DAB=60°，∴∠BAO=30°，∴OC=OA=3，∴BE=3，

∴tan∠EDB===．