Question

【題目】如圖1，四邊形的對角線，相交于點，，．

圖1 圖2

（1）過點作交于點，求證：；

（2）如圖2，將沿翻折得到．

①求證：；

②若，求證：．

Answer 1

【答案】（１）見解析；（２）①見解析；②見解析．

【解析】

（1）連接CE，根據全等證得AE=CD，進而AECD為平行四邊形，由進行等邊代換，即可得到；

（2）①過A作AE∥CD交BD于E，交BC于F，連接CE，，得，利用翻折的性質得到，即可證明；②證△BEF≌△CDE，從而得，進而得∠CED=∠BCD，且，得到△BCD∽△CDE，得，即可證明．

解：（1）連接CE，

∵，

∴，

∵，，，

∴△OAE≌△OCD，

∴AE=CD，

∴四邊形AECD為平行四邊形，

∴AE=CD，OE=OD，

∵，

∴CD=BE，

∴；

（2）①過A作AE∥CD交BD于E，交BC于F，連接CE，

由（1）得，，

∴，

由翻折的性質得，

∴，

∴，

∴；

②∵，，

∴四邊形為平行四邊形，

∴，，

∴，

∵，

∴EF=DE，

∵四邊形AECD是平行四邊形，

∴CD=AE=BE，

∵AF∥CD，

∴，

∵EF=DE，CD=BE，，

∴△BEF≌△CDE（SAS），

∴，

∵，

∴∠CED=∠BCD，

又∵∠BDC=∠CDE，

∴△BCD∽△CDE，

∴，即，

∵DE=2OD，

∴．