Question

【題目】如圖，直線與x軸交于A，與y軸交于B，拋物線經過點A，且與y軸交于點C（0，4），P為x軸上一動點，按逆時針方向作CPE，使CPE∽AOB．

（1）求拋物線解析式．

（2）若點E落在拋物線上，求出點P的坐標．

（3）若ABE是直角三角形，直接寫出點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）P（，0）、 P（，0）；（3） P點的坐標為（，0）或（，0）．

【解析】

（1）先根據一次函數確定A的坐標，然后運用A、C的坐標采用待定系數法解答即可；

（2）作EF⊥x軸于F，先求出OA和OB的比值，然后根據△CPE∽△AOB得到，再證明△CPO∽△PEF，得到，進一步得到EF=；設P（t，0），則E（t+2， ） ，然后將E的坐標代入解析式求解即可；

（3）分∠ABE=90°和∠BAE=90°兩種情況，分別設設P（a，0）、E（b，c）表示出EF、PF、PG、CG，再證明△EFP∽△PGC得到，可用a表示出b和c；然后再確定AB2、 BE2、AE2，最后運用勾股定理列方程解答即可．

解：（1）直線

當y=0時，x= -2

∴A（-2，0）

把（-2，0） （0，4）代入拋物線中得

解得：c=4，b=1

∴；

（2）作EF⊥x軸于F

∵直線AB交y軸于點（0，1）

∴

又∵△CPE∽△AOB

∴

又∵∠CPE=90，

∴∠CPO+∠EPF=90

又∠EPF﹢∠PEF=90，

∴∠CPO=∠PEF

∴△CPO∽△PEF

∴

∴PF=2

EF=

設P（t，0）

則E（t+2， ）

∵E在拋物線上

∴

解得t=

∴P（，0）、 P（，0）；

（3）①如圖：當∠ABE=90°時，設P（a，0），E（b，c）

則EF=a-b，PF=-c，PG=4,CG=a

∵∠GCP+∠GPC=90°，∠EPF+∠GPC=90°

∴∠GCP=∠EPF

∴△EFP∽△PGC

∴，即，解得b=a-2，c=

∵直角三角形ABE,

∴AE2=AB2+BE2, AB2=5, BE2=(a-2-0)2+（-1）2，AE2=(a-2+2)2+（）2，

∴5+(a-2)2+（-1）2=a2+（）2，解得a=

∴P的坐標為（，0）；

②如圖：當∠BAE=90°時，設P（a，0），E（b，c）

則EF=b-a，PF=-c，PG=4,CG=-a

∵∠GCP+∠GPC=90°，∠EPF+∠GPC=90°

∴∠GCP=∠EPF

∴△EFP∽△PGC

∴，即，解得b=2+a，c=

∵直角三角形ABE,

∴BE2=AB2+AE2, AB2=5, BE2=(2+a-0)2+（-1）2，AE2=(2+a+2)2+（）2，

∴ ( 2+a)2+（-1）2=（a+4）2+（）2+5，解得a=

∴P的坐標為（，0）．

綜上，P點的坐標為（，0）或（，0）．