Question

【題目】如圖，點D在⊙O的直徑AB的延長線上，點C在⊙O上，AC=CD，∠ACD=120°．

（1）求證：CD是⊙O的切線；

（2）若⊙O的半徑為2，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）圖中陰影部分的面積為．

【解析】試題分析：（1）連接半徑CO，證明OC⊥CD即可得出結論；（2）圖中陰影部分面積用直角三角形COD的面積減去扇形COB的面積即可.

試題解析：（1）連接OC．

，∵AC=CD，∠ACD=120°，∴∠A=∠D=30°．∵OA=OC，

∴∠2=∠A=30°．∴∠OCD=180°﹣∠A﹣∠D﹣∠2=180-30-30-30=90°．即OC⊥CD，OC又是半徑，∴CD是⊙O的切線．（2）由圖可知∠1=2∠2=60，又因為OC=2,所以在直角三角形COD中，CD=2,圖中陰影部分面積用直角三角形COD的面積減去扇形COB的面積,即=2×2÷2-=2-.所以圖中陰影部分的面積是2-.