Question

【題目】如圖，正方形OABC的邊OA，OC在坐標軸上，點B的坐標為（﹣4，4）．點P從點A出發，以每秒1個單位長度的速度沿x軸向點O運動；點Q從點O同時出發，以相同的速度沿x軸的正方向運動，規定點P到達點O時，點Q也停止運動．連接BP，過P點作BP的垂線，與過點Q平行于y軸的直線l相交于點D．BD與y軸交于點E，連接PE．設點P運動的時間為t（s）．
（1）∠PBD的度數為 ， 點D的坐標為（用t表示）；
（2）當t為何值時，△PBE為等腰三角形？
（3）探索△POE周長是否隨時間t的變化而變化？若變化，說明理由；若不變，試求這個定值．

Answer 1

【答案】
（1）解：45°；（t，t）
（2）解：①若PB=PE，

由△PAB≌△DQP得PB=PD，

顯然PB≠PE，

∴這種情況應舍去．

②若EB=EP，

則∠PBE=∠BPE=45°．

∴∠BEP=90°．

∴∠PEO=90°﹣∠BEC=∠EBC．

在△POE和△ECB中，

∴△POE≌△ECB（AAS）．

∴OE=CB=OC．

∴點E與點C重合（EC=0）．

∴點P與點O重合（PO=0）．

∵點B（﹣4，4），

∴AO=CO=4．

此時t=AP=AO=4．

③若BP=BE，

在Rt△BAP和Rt△BCE中，

∴Rt△BAP≌Rt△BCE（HL）．

∴AP=CE．

∵AP=t，

∴CE=t．

∴PO=EO=4﹣t．

∵∠POE=90°，

∴PE=

= （4﹣t）．

延長OA到點F，使得AF=CE，連接BF，如圖2所示．

在△FAB和△ECB中，

∴△FAB≌△ECB．

∴FB=EB，∠FBA=∠EBC．

∵∠EBP=45°，∠ABC=90°，

∴∠ABP+∠EBC=45°．

∴∠FBP=∠FBA+∠ABP

=∠EBC+∠ABP=45°．

∴∠FBP=∠EBP．

在△FBP和△EBP中，

∴△FBP≌△EBP（SAS）．

∴FP=EP．

∴EP=FP=FA+AP

=CE+AP．

∴EP=t+t=2t．

∴ （4﹣t）=2t．

解得：t=4 ﹣4

∴當t為4秒或（4 ﹣4）秒時，△PBE為等腰三角形

（3）解：∵EP=CE+AP，

∴OP+PE+OE=OP+AP+CE+OE

=AO+CO

=4+4

=8．

∴△POE周長是定值，該定值為8

【解析】解：（1）如圖1，
由題可得：AP=OQ=1×t=t（秒）
∴AO=PQ．
∵四邊形OABC是正方形，
∴AO=AB=BC=OC，
∠BAO=∠AOC=∠OCB=∠ABC=90°．
∵DP⊥BP，
∴∠BPD=90°．
∴∠BPA=90°﹣∠DPQ=∠PDQ．
∵AO=PQ，AO=AB，
∴AB=PQ．
在△BAP和△PQD中，

∴△BAP≌△PQD（AAS）．
∴AP=QD，BP=PD．
∵∠BPD=90°，BP=PD，
∴∠PBD=∠PDB=45°．
∵AP=t，
∴DQ=t．
∴點D坐標為（t，t）．
故答案為：45°，（t，t）．
（1）易證△BAP≌△PQD，從而得到DQ=AP=t，從而可以求出∠PBD的度數和點D的坐標．（2）由于∠EBP=45°，故圖1是以正方形為背景的一個基本圖形，容易得到EP=AP+CE．由于△PBE底邊不定，故分三種情況討論，借助于三角形全等及勾股定理進行求解，然后結合條件進行取舍，最終確定符合要求的t值．（3）由（2）已證的結論EP=AP+CE很容易得到△POE周長等于AO+CO=8，從而解決問題．