Question

【題目】已知拋物線:的項(xiàng)點(diǎn)為，交軸于、兩點(diǎn)(點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè))，且．

(1)求拋物線的函數(shù)解析式；

(2)過點(diǎn)的直線交拋物線于點(diǎn),交軸于點(diǎn),若的面積被軸分為1: 4兩個(gè)部分，求直線的解析式；

(3)在(2)的情況下，將拋物線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線,點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為何值時(shí)，為直角三角形？

Answer 1

【答案】（1）；（2）直線的解析式為；（3）點(diǎn)橫坐標(biāo)為或或或時(shí)，為．

【解析】

（1）求拋物線l1的頂點(diǎn)P（0，-2）得OP=2，由求得BP的長，進(jìn)而求得OB即點(diǎn)B坐標(biāo)，代入拋物線l1的解析式即求得a的值．

（2）求點(diǎn)A坐標(biāo)為（-4，0），設(shè)直線AC解析式為y=kx+b，把點(diǎn)A代入得b=4k，所以能用k表示點(diǎn)D坐標(biāo)，進(jìn)而用k表示△AOD和△BOD的面積．把直線AC解析式與拋物線l1解析式聯(lián)立方程，即y相等時(shí)得到一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，解即為點(diǎn)A、C橫坐標(biāo)，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出點(diǎn)C橫坐標(biāo)（用k表示），進(jìn)而可用k表示C的縱坐標(biāo)，再得到用k表示的△ABC面積．當(dāng)k＞0時(shí)，顯然S△AOD：S四邊形OBCD=1：4，即S△AOD=S△ABC，故得到關(guān)于k的方程，求解即得k的值．當(dāng)k＜0，則得到的方程與k＞0時(shí)相同，求得的k不滿足題意．綜合即求得直線AC的解析式．

（3）由于不確定點(diǎn)B、D、M哪個(gè)為直角頂點(diǎn)，故需分三種情況討論．設(shè)點(diǎn)M橫坐標(biāo)為m，①若∠BDM=90°，過M作MN⊥y軸于點(diǎn)N，可證△BDO∽△DMN，用m表示MN、DN的長，代入相似三角形對應(yīng)邊成比例即列得方程求m的值．②若∠DBM=90°，過點(diǎn)M作MQ⊥x軸于點(diǎn)Q，可證△BMQ∽△DBO，用m表示BQ、MQ的長，代入相似三角形對應(yīng)邊成比例即列得方程求m的值．③若∠BMD=90°，則點(diǎn)M在以BD為直徑的圓除點(diǎn)B、D外的圓周上，但顯然以AB為直徑的圓與拋物線l2無交點(diǎn)，故此情況不存在滿足的m．

（1）當(dāng)時(shí)，

∴頂點(diǎn)，

∵，

∴

∴

∴

∴，代入拋物線得：

，解得，

∴拋物線的函數(shù)解析式為

（2）∵知拋物線交軸于、兩點(diǎn)

∴、關(guān)于軸對稱，即

∴

設(shè)直線解析式：點(diǎn)代入得：

∴

∴直線：，

∴

∵，整理得：

∴

∵

∴，

∴

∴

①若，則

∴

∴

解得：（舍去），

∴直線的解析式為

②若，則，

∴解得：（舍去），（舍去）

綜上所述，直線的解析式為.

（3）由（2）得：，

∵拋物線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到拋物線

∴拋物線解析式為：

設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為

①若，如圖1，則 過作軸于點(diǎn)

∴，，

∴

∴

∴

∴，即

∴

解得：，

②若，如圖2，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)

∴，，

∴

∴

∴

∴，即

∴解得：，

③若，則點(diǎn)在以為直徑的圓除點(diǎn)、外的圓周上

顯然以為真徑的圓與拋物線無交點(diǎn)，故此情況不存在滿足的

綜上所述，點(diǎn)橫坐標(biāo)為或或或時(shí)，為.