Question

【題目】如圖，在ABCD中，AB=1，BC=，對角線AC，BD交于O點，將直線AC繞點O順時針旋轉，分別交于BC，AD于點E，F．

（1）證明：當旋轉角為　 　時，四邊形ABEF是平行四邊形；

（2）在旋轉過程中，四邊形BEDF可能是菱形嗎？如果不可能，請說明理由；如果可能，說明理由并求出此時AC繞點O順時針旋轉的度數．

Answer 1

【答案】（1）90°；（2）在旋轉過程中，四邊形BEDF能是菱形，此時AC繞點O順時針旋轉的度數是45°．

【解析】

（1）根據∠BAC=∠AOF=90°推出AB∥EF，根據平行四邊形性質得出AF∥BE，即可推出四邊形ABEF是平行四邊形；

（2）證△DFO≌△BEO，推出OF=OE，得出四邊形BEDF是平行四邊形，根據勾股定理求出AC，求出OA=AB=1，求出∠AOB=45°，根據∠AOF=45°，推出EF⊥BD，根據菱形的判定推出即可．

解：（1）結論：旋轉角為90°時，四邊形ABEF是平行四邊形．

理由：∵∠AOF=90°，∠BAO=90°，

∴∠BAO=∠AOF，

∴AB∥EF，

又∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AF∥EB，

∴四邊形ABEF是平行四邊形；

（2）當旋轉角∠AOF=45°時，四邊形BEDF是菱形．理由如下：

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，BO=DO，

∴∠FDO=∠EBO，∠DFO=∠BEO，

在△DFO和△BEO中

∵，

∴△DFO≌△BEO（AAS），

∴OF=OE，

∴四邊形BEDF是平行四邊形，

∵AB=1，BC=，

∴在Rt△BAC中，由勾股定理得：AC=2，

∴AO=1=AB，∵∠BAO=90°，

∴∠AOB=45°，

又∵∠AOF=45°，

∴∠BOF=90°，

∴BD⊥EF，

∴四邊形BEDF是菱形，

即在旋轉過程中，四邊形BEDF能是菱形，此時AC繞點O順時針旋轉的度數是45°．