Question

【題目】已知△ABC是等邊三角形，點D為平面內一點，連接DB、DC，∠BDC＝120°．

（1）如圖①，當點D在BC下方時，連接AD，延長DC到點E，使CE＝BD，連接AE．

①求證：△ABD≌△ACE；

②如圖②，過點A作AF⊥DE于點F，直接寫出線段AF、BD、DC間的數量關系；

（2）若AB＝2，DC＝6，直接寫出點A到直線BD的距離．

Answer 1

【答案】（1）①證明見解析；②AF＝（CD+BD）；（2）4或

【解析】

（1）①由等邊三角形的性質可得AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，由四邊形的內角和定理可得∠ACE＝∠ABD，由“SAS”可證△ABD≌△ACE；

②由全等三角形的性質可得AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，可證△ADE是等邊三角形，可得AF＝DF＝AD，即可求解；

（2）分兩種情況討論，當點D在BC下方時，利用全等三角形的性質和勾股定理可求點A到直線BD的距離；當點D在BC上方時，過點C作CH⊥BD交BD延長線于H，過點D作DF⊥BC于F，過點A作AN⊥BD，交BD的延長線于N，利用面積法可求DF的長，由三角函數可求解．

證明：（1）①∵△ABC是等邊三角形，

∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，

∵∠ABD+∠BDC+∠ACD+∠BAC＝360°，∠BDC＝120°，

∴∠ABD+∠ACD＝180°，

∵∠ACE+∠ACD＝180°，

∴∠ACE＝∠ABD，

又∵AB＝AC，BD＝CE，

∴△ABD≌△ACE（SAS）；

②∵△ABD≌△ACE，

∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，

∴∠DAC+∠CAE＝∠DAC+∠BAD＝∠BAC＝60°，

∴∠DAE＝60°，

∴△ADE是等邊三角形，

∴AD＝ED，

∵AF⊥DE，AD＝AE，

∴DF＝DE＝AD，∠DAF＝30°，

∴AF＝DF＝AD，

∵DE＝CD+CE＝CD+BD，

∴AF＝AD＝（CD+BD）；

（2）如圖②，若點D在BC下方時，

∵△ABD≌△ACE，

∴點A到直線BD的距離＝點A到直線CE的距離，

設DF＝x，則AF＝x，

∵AC2＝AF2+CF2，

∴52＝3x2+（6﹣x）2，

∴x1＝4，x2＝﹣1（舍去），

∴AF＝4，

如圖3，若點D在BC上方時，過點C作CH⊥BD交BD延長線于H，過點D作DF⊥BC于F，過點A作AN⊥BD，交BD的延長線于N，

∵∠BDC＝120°，

∴∠CDH＝60°，

∵CH⊥BD，

∴∠DCH＝30°，CD＝6，

∴DH＝3，CH＝DH＝3，

∵BH＝＝＝5，

∴BD＝BH﹣DH＝2，

∵S△BDC＝BD×CH＝×BC×DF，

∴2×3＝2×DF，

∴DF＝，

∵∠BDC＝120°，

∴∠DBC+∠DCB＝60°，

又∵∠ABD+∠DBC＝60°，

∴∠ABD＝∠DCB，

∴sin∠ABD＝sin∠DCB＝，

∴，

∴AN＝，

綜上所述：點A到直線BD的距離為4或．