Question

【題目】如圖，在⊙O中，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦且與AB交于點E（E不與O重合），CE＝DE，點F在弧AD上，連接AD、CF、DF，CF交AB于點H，交AD于點G．

（1）如圖1，求證：∠CFD＝2∠BAD；

（2）如圖2，過點B作BN⊥CF于點N，交⊙O于點M，求證：FN＝CN+DF；

（3）如圖3，在（2）的條件下，延長CF至點Q，連接QA并延長交BM的延長線于點P，若∠Q＝∠ADF，HE＝BE，AQ＝2DG＝10，求線段PN的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）NP＝

【解析】

（1）利用垂徑定理證明，推出，再根據圓周角定理即可證明；

（2）如圖2中，連接，，在上截取，連接．證明即可解決問題；

（3）如圖3中，由可設，，由是重心知， ，求出a值，過點H作HS⊥AC于S，過A作AK⊥CQ于K，求出CS，CH，HS，從而得出tan∠ACQ，設AK=t，在△ACK中，求出t值，得到CK和CQ，設CN=m，在△BCH中，利用勾股定理求出m，根據同弧所對圓周角相等得出∠Q＝∠ACQ，在Rt△PNQ中，求出PN值.

解:（1）證明：如圖1中，連接AC．

∵AB是⊙O直徑，CE＝DE，

∴AB⊥CD，

∴，

∴∠BAC＝∠BAD，

∵∠CFD＝∠CAD，

∴∠CFD＝2∠BAD；

（2）如圖2中，連接BC，BD，在FC上截取FK＝FD，連接BK．

∵，

∴BC＝BD，∠BFD＝∠BFK，

∵FK＝FD，FB＝FB，

在△BFD和△BFK中，

，

∴△BFD≌△BFK（SAS），

∴BK＝BD，

∴BC＝BK，

∵BN⊥CK，

∴CN＝NK，

∴FN＝FK+KN＝DF+CN；

（3）如圖3中，連接AC，AF．

，

設，，

由題意知點是重心，

，，

連接，由射影定理知，

解得，

，，，

在Rt△ADE中，由勾股定理可求得，

，，，，AH=，BC=，

過點H作HS⊥AC于S，過A作AK⊥CQ于K，

則HS=AH×CE÷AC=，

∴CS=，CH==，

，

設AK=t，

∴CK=，在△ACK中，

，

解得：t=或（舍），

，

∴，

設CN=m，則NH=-m，

在△BCH中，，

解得：m=或36（舍），

∴，

，

∵∠Q＝∠ADF，∠ACQ=∠ADF，

∴∠Q＝∠ACQ，

在Rt△PNQ中，，，

．