Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，點M在△ABC內，AM平分∠BAC．點E與點M在AC所在直線的兩側，AE⊥AB，AE＝BC，點N在AC邊上，CN＝AM，連接ME，BN．

（1）補全圖形；

（2）求ME：BN的值；

（3）問：點M在何處時BM+BN取得最小值？確定此時點M的位置，并求此時BM+BN的最小值．

Answer 1

【答案】（1）補圖見解析；（2）ME：BN＝1；（3）當點M在∠BAC的平分線上運動到它與BE的交點處時，BM+BN取得最小值，為．

【解析】

（1）根據題意補全圖形；
（2）延長AM交BC于點D，證明△AME≌△CNB，根據全等三角形的性質得到ME=BN，得到答案；
（3）根據ME=BN，得到BM+BN=BM+ME，根據兩點之間線段最短、勾股定理計算即可．

（1）補全圖形見圖1：

（2）如圖2，延長AM交BC于點D，
∵AB=AC，AM平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD，AD⊥BC，
∵AE⊥AB，
∴∠MAE+∠BAD=90°，
∵AD⊥BC，
∴∠C+∠CAD=90°，
∴∠MAE=∠C，
在△AME和△CNB中，
，
∴△AME≌△CNB（SAS），

∴ME=BN，
∴ME：BN=1；
（3）∵ME=BN，
∴BM+BN=BM+ME，
∴當點M在∠BAC的平分線上運動到它與BE的交點處時，BM+BN取得最小值，
∵AB=AC=5，BC=6，
∴AE=BC=6，
∴BE= ，
∴BM+BN的最小值為．