Question

【題目】關(guān)于x的方程2x2﹣5xsinA+2=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，其中∠A是銳角三角形ABC的一個(gè)內(nèi)角．

（1）求sinA的值；

（2）若關(guān)于y的方程y2﹣10y+k2﹣4k+29=0的兩個(gè)根恰好是△ABC的兩邊長(zhǎng)，求△ABC的周長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）sinA=；（2）△ABC的周長(zhǎng)為或16．

【解析】

（1）利用判別式的意義得到△=25sin2A-16=0，解得sinA=；

（2）利用判別式的意義得到100-4（k2-4k+29）≥0，則-（k-2）2≥0，所以k=2，把k=2代入方程后解方程得到y1=y2=5，則△ABC是等腰三角形，且腰長(zhǎng)為5．

分兩種情況：當(dāng)∠A是頂角時(shí)：如圖，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC于點(diǎn)D，利用三角形函數(shù)求出AD=3，BD=4，再利用勾股定理求出BC即得到△ABC的周長(zhǎng)；

當(dāng)∠A是底角時(shí)：如圖，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC于點(diǎn)D，在Rt△ABD中，AB=5，利用三角函數(shù)求出AD得到AC的長(zhǎng)，從而得到△ABC的周長(zhǎng)．

（1）根據(jù)題意得△=25sin2A-16=0，

∴sin2A=，

∴sinA=±，

∵∠A為銳角，

∴sinA=；

（2）由題意知，方程y2-10y+k2-4k+29=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

則△≥0，

∴100-4（k2-4k+29）≥0，

∴-（k-2）2≥0，

∴（k-2）2≤0，

又∵（k-2）2≥0，

∴k=2，

把k=2代入方程，得y2-10y+25=0，

解得y1=y2=5，∴△ABC是等腰三角形，且腰長(zhǎng)為5．

分兩種情況：

當(dāng)∠A是頂角時(shí)：如圖，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC于點(diǎn)D，在Rt△ABD中，AB=AC=5，

∵sinA=，

∴AD=3，BD=4∴DC=2，

∴BC=2．

∴△ABC的周長(zhǎng)為10+2；

當(dāng)∠A是底角時(shí)：如圖，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC于點(diǎn)D，

在Rt△ABD中，AB=5，

∵sinA=，

∴AD=DC=3，

∴AC=6．

∴△ABC的周長(zhǎng)為16，

綜合以上討論可知：△ABC的周長(zhǎng)為10+2或16．