Question

【題目】如圖1，以△ABC的邊AB為直徑的⊙O交邊BC于點E，過點E作⊙O的切線交AC于點D，且ED⊥AC．
（1）試判斷△ABC的形狀，并說明理由；
（2）如圖2，若線段AB、DE的延長線交于點F，∠C=75°，CD=2﹣ ，求⊙O的半徑和BF的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：△ABC是等腰三角形，理由是：

如圖1，連接OE，

∵DE是⊙O的切線，

∴OE⊥DE，

∵ED⊥AC，

∴AC∥OE，

∴∠1=∠C，

∵OB=OE，

∴∠1=∠B，

∴∠B=∠C，

∴△ABC是等腰三角形；

（2）解：如圖2，過點O作OG⊥AC，垂足為G，則得四邊形OGDE是矩形，

∵△ABC是等腰三角形，

∴∠B=∠C=75°，

∴∠A=180°﹣75°﹣75°=30°，

設OG=x，則OA=OB=OE=2x，AG= x，

∴DG=OE=2x，

根據AC=AB得：4x= x+2x+2﹣ ，

x=1，

∴OE=OB=2，

在直角△OEF中，∠EOF=∠A=30°，

cos30= ，OF= =2÷ = ，

∴BF= ﹣2，⊙O的半徑為2．

【解析】（1）連接OE，根據切線性質得OE⊥DE，與已知中的ED⊥AC得平行，由此得∠1=∠C，再根據同圓的半徑相等得∠1=∠B，可得出三角形為等腰三角形；（2）通過作輔助線構建矩形OGDE，再設與半徑有關系的邊OG=x，通過AB=AC列等量關系式，可求得結論．