Question

【題目】已知，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的頂點為A（s，t）（其中s≠0）．

（1）若拋物線經過（2，7）和（-3，37）兩點，且s=1．

①求拋物線的解析式；

②若n＞1，設點M（n，y1），N（n+1，y2）在拋物線上，比較y1，y2的大小關系，并說明理由；

（2）若a=2，c=-2，直線y=2x+m與拋物線y=ax2+bx+c的交于點P和點Q，點P的橫坐標為h，點Q的橫坐標為h+3，求出b和h的函數關系式；

（3）若點A在拋物線y=上，且2≤s＜3時，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①；②，理由見解析；（2）；（3）

【解析】

（1）①已知拋物線上的兩點，以及頂點的橫坐標，列出方程組，即可求解；

②由①知拋物線開口向上，以及拋物線的對稱軸，且點M、N均在對稱軸的右側，根據拋物線的性質，在對稱軸的右側隨著的增大而增大，即可比較，的大小；

（2）根據點、既在拋物線上，又在直線上，分別代入，表示出坐標，根據縱坐標差值相等，即可求得和的函數關系式；

（3）拋物線經過點（， ），將其代入，可求得，點A在，也可表示出，通過代換，可求得關于的表達式，根據2≤s＜3，解不等式組即可求解．

解（1）①∵拋物線經過點（2，7）和（-3，37）兩點，且頂點為A（s，t），

則有： ，解得： ，

故拋物線的解析式為：；

②由①知：拋物線的對稱軸為，且開口向上，

∴拋物線在的右側隨著的增大而增大，

而n＞1，點M（n，y1），N（n+1，y2）均在對稱軸的右側，且，

∴；

（2）若a=2，c=-2，則拋物線為：，點、在拋物線上，

則（， ），（，），

同時點、也在直線上，則（，），（，），

而無論點、在拋物線上還是在直線上，它們縱坐標的差值是相等的，故有：

=，

整理得：；

故b和h的函數關系式為；

（3）設拋物線，

∵拋物線經過點（，），

∴ ，即，①

又∵點A 在拋物線，則 ，即，②

由①②可得：，且，

∴，

∵，即，

解得：．

故當2≤s＜3時，a的取值范圍．