Question

【題目】已知，△ABC 是等腰直角三角形，BC=AB，A 點在 x 負半軸上，直角頂點 B 在 y 軸上，點 C 在 x 軸上方．

（1）如圖1所示，若A的坐標是（﹣3，0），點 B的坐標是（0，1），求點 C 的坐標；

（2）如圖2，過點 C 作 CD⊥y 軸于 D，請直接寫出線段OA，OD，CD之間等量關系；

（3）如圖3，若 x 軸恰好平分∠BAC，BC與 x 軸交于點 E，過點 C作 CF⊥x 軸于 F，問 CF 與 AE 有怎樣的數量關系？并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）C（﹣1，4）；（2）OA=CD+OD；（3）CF= AE．

【解析】

（1）作CH⊥y軸與D,得OA=3,OB=1,根據等腰三角形的性質得BA=BC，∠ABC=90°，再利用等角的余角相等得∠CBH=∠BAO，證明△ABO≌△BCH，即可求出點C坐標,

（2）證明△ABO≌△BCH，得OB=CD,OA=BD,∴OA=CD+OD,

（3）如圖 3，CF 和 AB 的延長線相交于點 D，證明△ABE≌△CBD， 得AE=CD，再利用對稱性質得CF=DF，即可解題.

解：（1）作 CH⊥y 軸于 D，如圖 1，

∵點 A 的坐標是（﹣3，0），點 B 的坐標是（0，1），

∴OA=3，OB=1，

∵△ABC 是等腰直角三角形，

∴BA=BC，∠ABC=90°，

∴∠ABO+∠CBH=90°，

∵∠ABO+∠BAO=90°，

∴∠CBH=∠BAO，

在△ABO和△BC中

∴△ABO≌△BCH，

∴OB=CH=1，OA=BH=3，

∴OH=OB+BH=1+3=4，

∴C（﹣1，4）；

（2）OA=CD+OD．理由如下：如圖2，

∵△ABC 是等腰直角三角形，

∴BA=BC，∠ABC=90°，

∴∠ABO+∠CBD=90°，

∵∠ABO+∠BAO=90°，∴∠CBD=∠BAO，

在△ABO 和△BCD 中

∴△ABO≌△BCD，

∴OB=CD，OA=BD，

而 BD=OB+OD=CD+OD，

∴OA=CD+OD；

（3）CF= AE．理由如下：

如圖 3，CF 和 AB 的延長線相交于點 D，

∴∠CBD=90°，

∵CF⊥x，

∴∠BCD+∠D=90°，∠DAF+∠D=90°，

∴∠BCD=∠DAF，

在△ABE 和△CBD中

∴△ABE≌△CBD，

∴AE=CD，

∵x 軸平分∠BAC，CF⊥x 軸，

∴CF=DF，

∴CF= CD= AE．