Question

【題目】如圖，∠BAD=∠CAE=90o，AB=AD，AE=AC， AF⊥CF，垂足為F.

（1）若AC=10，求四邊形ABCD的面積；

（2）求證：AC平分∠ECF；

（3）求證：CE=2AF .

Answer 1

【答案】（1）50（2）證明見解析（3）證明見解析

【解析】試題分析：（1）根據條件證明△ABC≌△ADE，然后四邊形ABCD的面積可轉化為等腰直角△ACE的面積，然后利用三角形的面積公式計算即可；（2）根據條件證明∠ACB=∠ACE=45°即可；（3））過點A作AG⊥CG，垂足為點G，利用角的平分線的性質證得AF=AG，利用直角三角形斜邊上的中線的性質和等腰三角形的性質證得CG=AG=GE，即可得出結論．

試題解析：（1）∵∠BAD=∠CAE=90°，

∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD

∴∠BAC=∠EAD

在△ABC和△ADE中

∴△ABC≌△ADE（SAS）

∵

∴

（2）∵△ACE是等腰直角三角形，

∴∠ACE=∠AEC=45°，

由△ABC≌△ADE得：

∠ACB=∠AEC=45°，

∴∠ACB=∠ACE，

∴AC平分∠ECF

（3）過點A作AG⊥CG，垂足為點G

∵AC平分∠ECF，AF⊥CB，

∴AF=AG，

又∵AC=AE，

∴∠CAG=∠EAG=45°，

∴∠CAG=∠EAG=∠ACE=∠AEC=45°，

∴CG=AG=GE，

∴CE=2AG，

∴CE="2AF"