Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線分別交x軸、y軸于A，B兩點，經過A，B兩點的拋物線與x軸的正半軸相交于點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若P為線段AB上一點，，求AP的長；

（3）在（2）的條件下，設M是y軸上一點，試問：拋物線上是否存在點N，使得以A，P，M，N為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，點N的坐標為(，3) 或(，)

【解析】

（1）利用直線與y軸的交點求得點B的坐標，然后把點B、C的坐標代入，即可求解；

（2）先求得點A的坐標，證得△PAO△CAB，利用對應邊成比例即可求解；

（3）分點N在AB的上方或下方兩種情況進行討論，根據平行四邊形的性質和等腰直角三角形的性質，利用三角形全等，即可求解．

（1）令，則，

∴點B的坐標為(0，3)，

拋物線經過點B (0，3)，C (1，0)，

∴，解得，

∴拋物線的解析式為：；

（2）令，則，

解得：，

∴點A的坐標為(，0)，

∴OA=3，OB=3，OC=1，

，

∵，且，

∴△PAO△CAB，

∴，即，

∴；

（3）存在，

過點P作PD⊥x軸于點D，

∵OA=3，OB=3，∠AOB=，

∴∠BAO=∠ABO=，

∴△PAD為等腰直角三角形，

∵，

∴PD=AD=2，

∴點P的坐標為(，2)，

當N在AB的上方時，過點N作NE⊥y軸于點E，如圖，

∵四邊形APMN為平行四邊形，

∴NM∥AP，NM=AP=，

∴∠NME=∠ABO=，

∴△NME為等腰直角三角形，

∴Rt△NMERt△APD，

∴NE=AD=2，

當時，，

∴點N的坐標為(，3)，

當N在AB的下方時，過點N作NF⊥y軸于點F，如圖，

同理可得：Rt△NMFRt△APD，

∴NF=AD=2，

當時，，

∴點N的坐標為(，)，

綜上，點N的坐標為(，3) 或(，) ．