Question

【題目】用各種盛水容器可以制作精致的家用流水景觀（如圖1）．

科學原理：如圖2，始終盛滿水的圓體水桶水面離地面的高度為H（單位：m），如果在離水面豎直距離為h（單校：cm）的地方開大小合適的小孔，那么從小孔射出水的射程（水流落地點離小孔的水平距離）s（單位：cm）與h的關系為s2=4h（H—h）．

應用思考：現用高度為20cm的圓柱體望料水瓶做相關研究，水瓶直立地面，通過連注水保證它始終盛滿水，在離水面豎直距高h cm處開一個小孔．

（1）寫出s2與h的關系式；并求出當h為何值時，射程s有最大值，最大射程是多少?

（2）在側面開兩個小孔，這兩個小孔離水面的豎直距離分別為a，b，要使兩孔射出水的射程相同，求a，b之間的關系式；

（3）如果想通過墊高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加16cm，求整高的高度及小孔離水面的豎直距離．

Answer 1

【答案】（1），當時，；（2）或；（3）墊高的高度為16cm，小孔離水面的豎直距離為18cm

【解析】

（1）將s2=4h(20-h)寫成頂點式，按照二次函數的性質得出s2的最大值，再求s2的算術平方根即可；

（2）設存在a，b，使兩孔射出水的射程相同，則4a(20-a)=4b(20-b)，利用因式分解變形即可得出答案；

（3）設墊高的高度為m，寫出此時s2關于h的函數關系式，根據二次函數的性質可得答案．

解：(1)∵s2=4h(H-h)，

∴當H=20時，s2=4h(20-h)=-4(h-10)2+400，

∴當h=10時，s2有最大值400，

∴當h=10時，s有最大值20cm．

∴當h為何值時，射程s有最大值，最大射程是20cm；

故答案為：最大射程是20cm.

(2) ∵s2=4h(20-h)，

設存在a，b，使兩孔射出水的射程相同，則有：

4a(20-a)=4b(20-b)，

∴20a-a2=20b-b2，

∴a2-b2=20a-20b，

∴(a+b)(a-b)=20(a-b)，

∴(a-b)(a+b-20)=0，

∴a-b=0或a+b-20=0，

∴a=b或a+b=20.

故答案為：a=b或a+b=20.

(3)設墊高的高度為m，則

∴當時，

∴時，此時

∴墊高的高度為16cm，小孔離水面的豎直距離為18cm．

故答案為：墊高的高度為16cm，小孔離水面的豎直距離為18cm.