Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=-x2+bx+c經過點A（3，0）和點B（2，3），過點A的直線與y軸的負半軸相交于點C，且tan∠CAO=．

（1）求這條拋物線的表達式及對稱軸；

（2）聯結AB、BC，求∠ABC的正切值；

（3）若點D在x軸下方的對稱軸上，當S△DBC=S△ADC時，求點D的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2+2x+3，對稱軸x=1；（2）tan∠ABC=1；（3）點D的坐標為（1，-4）．

【解析】

（1）把A（3，0）和點B（2，3）代入y=-x2+bx+c，解方程組即可解決問題；
（2）作BE⊥OA于E．只要證明△AOC≌△BEA，再推出△ABC是等腰直角三角形，即可解決問題；
（3）過點C作CD∥AB交對稱軸于D，則S△DBC=S△ADC，先求出直線AB的解析式，再求出直線CD的解析式即可解決問題．

解：（1）把A（3，0）和點B（2，3）代入y=-x2+bx+c得到，

，解得，

∴拋物線的表達式為y=-x2+2x+3，

∴對稱軸為x=-=1．

故拋物線的表達式為y=-x2+2x+3，對稱軸為x=1；

（2）如圖，作BE⊥OA于E．

∵A（3，0），B（2，3），tan∠CAO=，

∴OA=3，OE=2，BE=3，∴AE=1，OC=OA×tan∠CAO=1，

∴BE=OA，AE=OC，

∵∠AEB=∠AOC=90°，

∴△AOC≌△BEA(SAS)，

∴AC=AB，∠CAO=∠ABE，

∵∠ABE+∠BAE=90°，

∴∠CAO+∠BAE=90°，

∴∠CAB=90°，

∴△ABC是等腰直角三角形，

∴∠ABC=45°，

∴tan∠ABC=1；

（3）如圖，過點C作CD∥AB交對稱軸于D，則S△DBC=S△ADC，
設直線AB的解析式為y=kx+b，將A（3，0），B（2，3）代入得，

，解得，∴直線AB的解析式為y=-3x+9．

∵AB∥CD，設直線CD的解析式為y=-3x+m，將點C(0，-1)代入得，m=-1，

∴直線CD的解析式為y=-3x-1，當x=1時，y=-4，
∴點D的坐標為（1，-4）．