Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OEFG的頂點(diǎn)E坐標(biāo)為（4，0），頂點(diǎn)G坐標(biāo)為（0，2）．將矩形OEFG繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)F落在y軸的點(diǎn)N處，得到矩形OMNP，OM與GF交于點(diǎn)A．
（1）判斷△OGA和△OMN是否相似，并說(shuō)明理由；
（2）求過(guò)點(diǎn)A的反比例函數(shù)解析式；
（3）設(shè)（2）中的反比例函數(shù)圖象交EF于點(diǎn)B，求直線(xiàn)AB的解析式；
（4）請(qǐng)?zhí)剿鳎呵蟪龅姆幢壤�函�?shù)的圖象，是否經(jīng)過(guò)矩形OEFG的對(duì)稱(chēng)中心，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知，得∠OGA=∠M=90°，∠GOA=∠MON，易得△OGA∽△OMN．
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，可得AG的值，即A的坐標(biāo)，設(shè)反比例函數(shù)y=

k

x

，把A（1，2）代入，得k=2，即y=

2

x

．
（3）易得B的坐標(biāo)，設(shè)y=mx+n，把A（1，2），B（4，

1

2

）代入可得方程組，解可得mn的值，代入可得直線(xiàn)AB的解析式；
（4）設(shè)矩形OEFG的對(duì)稱(chēng)中心為Q，易得點(diǎn)Q坐標(biāo)為（2，1），將其代入解析式，即可判斷出答案．

解答：解：（1）△OGA∽△OMN．（1分）
由已知，得∠OGA=∠M=90°，∠GOA=∠MON，
∴△OGA∽△OMN．（2分）

（2）由（1）得

AG

MN

=

OG

OM

．
∴

AG

2

=

2

4

，AG=1，
∴A（1，2）．（3分）
設(shè)反比例函數(shù)y=

k

x

，把A（1，2）代入，得k=2，即y=

2

x

．（4分）

（3）∵點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為4，把x=4代入y=

2

x

中得，y=

1

2

，即B（4，

1

2

）．（5分）
設(shè)y=mx+n，把A（1，2），B（4，

1

2

）代入，得

m+n=2 4m+n= 1 2

解得

m=- 1 2 n= 5 2

∴y=-

1

2

x+

5

2

．（8分）


（4）設(shè)矩形OEFG的對(duì)稱(chēng)中心為Q，則點(diǎn)Q坐標(biāo)為（2，1）．
把x=2代入y=

2

x

，得y=1．
∴反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)矩形OEFG的對(duì)稱(chēng)中心．（10分）

點(diǎn)評(píng)：綜合考查三角形相似的判定，反比例函數(shù)直線(xiàn)關(guān)系式的求法，及中心對(duì)稱(chēng)的有關(guān)知識(shí)．此題綜合性強(qiáng)，有一定的難度，有利于培養(yǎng)同學(xué)們勇于探索的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣．