Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點A、C分別在x軸和y軸上，點B的坐標為（6，4）．雙曲線經過AB的中點D，且與BC交于點E，連接DE．

（1）求k的值和直線DE的解析式；

（2）若點P是y軸上一點，且△OPE的面積與四邊形ODBE的面積相等，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或

【解析】

（1）根據AB的中點D（6，2）求得雙曲線解析式，繼而結合矩形的性質知點E（3，4），待定系數法求得直線DE的解析式；

（2）先利用割補法求得四邊形的面積，再依據△OPE的面積與四邊形ODBE的面積相等求得點P的縱坐標即可得出答案．

解：（1）∵點B的坐標為（6，4），

∴AB的中點D的坐標為（6，2），

將點D（6，2）的坐標代入，得k=6×2=12．

∵BC∥x軸，∴點E的縱坐標與點B的縱坐標相等，

∴點E的縱坐標為4．

∵點E在雙曲線上，

∴，

∴點E在坐標為（3，4）

設直線DE的解析式為，

將點D（6，2）、E（3，4）的坐標代入，

得，解得：．

∴直線DE的解析式為：

（2）∵S四邊形ODBE=S矩形OABC-S△OAD-S△OCE

=6×4-×6×2-×4×3=12，

∴，即，

∴OP=8

∴點P的坐標為（0，8）或（0，-8）