Question

【題目】（1）如圖，已知在△ABC中，∠BAC＝40°，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE所在直線交于點F，求∠BFC的度數；

（2）在（1）的基礎上，若∠BAC每秒擴大10°，且在變化過程中∠ABC與∠ACB始終保持是銳角，經過t秒（0＜t＜14），在∠BFC，∠BAC這兩個角中，當一個為另一個的兩倍時，求t的值；

（3）在（2）的基礎上，∠ABD與∠ACE的角平分線交于點G，∠BGC是否為定值，如果是，請直接寫出∠BGC的值，如果不是，請寫出∠BGC是如何變化的．

Answer 1

【答案】（1）140°；（2）t＝2或8；（3）∠BGC是定值，為90°．

【解析】

（1）利用鈍角的余角相等，證明∠CFD＝∠A即可解決問題．

（2）由題意∠A＝40°+10°×t，∠BFC＝180°﹣∠A＝140°﹣10°×t．分兩種情形：①當0＜t＜5時，∠BFC＝2∠A．②當5＜t＜14時，∠A＝2∠BFC，分別構建方程求解即可．

（3）如圖，結論∠BGC是定值．想辦法證明∠G＝∠A+∠ABG+∠ACG，∠ABG+∠ACG＝∠ABD即可解決問題．

解：（1）∵BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，

∴∠AEC＝∠BDC＝90°，

∴∠A+∠ACE＝90°，∠ACE+∠CFD＝90°，

∴∠CFD＝∠A

∴∠BFC＝180°﹣∠DFC＝180°﹣∠A＝140°．

（2）由題意∠A＝40°+10°×t，∠BFC＝180°﹣∠A＝140°﹣10°×t．

①當0＜t＜5時，∠BFC＝2∠A，則有140﹣10t＝2（40+10t），

解得t＝2．

②當5＜t＜14時，∠A＝2∠BFC，

∴40+10t＝2（140﹣10t），

解得t＝8，

綜上所述，當t＝2或8時，∠BFC，∠A兩個角中，一個角是另一個角的兩倍．

（3）如圖，結論∠BGC是定值．

理由：∵BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，

∴∠AEC＝∠ADB＝90°，

∴∠A+∠ABD＝90°，∠A+∠ACE＝90°，

∴∠ABD＝∠ACE，

∵BG平分∠ABD，CG平分∠ACB，

∠ABG＝∠ABD，∠ACG＝∠ACE，

∴∠ABG+∠ACG＝（∠ABD+∠ACE）＝∠ABD，

∵∠A+∠ABG+∠GBC+∠GCB+∠ACG＝180°，∠G+∠GBC+∠GCB＝180°，

∴∠G＝∠A+∠ABG+∠ACG＝∠A+∠ABD＝90°，

∴∠BGC是定值．