Question

【題目】【問題原型】如圖1，在四邊形ABCD中，∠ADC=90°，AB=AC.點E、F分別為AC、BC的中點，連結EF，DE．試說明：DE=EF．

【探究】如圖2，在問題原型的條件下，當AC平分∠BAD，∠DEF=90°時，求∠BAD的大小．

【應用】如圖3，在問題原型的條件下，當AB=2，且四邊形CDEF是菱形時，直接寫出四邊形ABCD的面積．

Answer 1

【答案】 【問題原型】詳見解析；【探究】∠BAD=60°；【應用】

【解析】試題分析：【問題原型】由三角形中位線定理和直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可證明 ．

【探究】先證明∠EDA=∠DAE=∠CAB=∠CEF，由外角的性質得到∠DEC=2∠DAC=2∠CEF，再由∠DEF=90°，得到∠CEF的度數，即可得到結論．

【應用】連接AF．證明△ECF是等邊三角形，從而得到AD，AF的長，由S四邊形ABCD=S△ADC+S△ABC=計算即可．

試題解析：解：【問題原型】

證明：在△ABC中，點E，F分別為AC，BC的中點，∴EF∥AB，且EF=AB ．

在Rt△ACD中，點E為AC的中點，∴DE=AC．∵AB=AC，∴DE=EF ．

【探究】

∵AC平分∠BAD，EF∥AB，DE=AC=AE=EC ，∴∠BAC=∠DAC，∠CEF=∠BAC，

∠DEC=2∠DAC=∠BAD．∵∠DEF=90°，∴∠CEF+∠DEC=∠BAC+2∠DAC=90°，∴∠BAC=∠DAC=30°，∴∠BAD=60° ．

【應用】

連接AF．∵AC=AB，F為BC的中點，∴AF⊥BC．∵四邊形CDEF是菱形，∴CF=EF=DE=DC．∵DE=EC=EF=1，∴EC=EF=CF=1，∴△ECF是等邊三角形，∴∠ECF=60°，∴∠DCE=60°，∴∠DAC=30°，∴AD=DC=，AF=CF=．∴S四邊形ABCD=S△ADC+S△ABC=ADDC+CBAF==．