Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC、BD相交于點O，分別延長OB，OD到點E，F，使BE=DF，順次連接A、E、C、F各點．
（1）求證：∠FAD=∠EAB．
（2）若∠ADC=130°，要使四邊形AECF是正方形，求∠FAD的度數．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，

∴AD=AB，∠ADB=∠ABD，

∴∠ADF=∠ABE，

在△FAD與△EAB中，

∴△FAD≌△EAB（SAS），

∴∠FAD=∠EAB；

（2）解：∵四邊形AECF對角線互相垂直平分，

∴只要∠EAF=90°即得四邊形BFDE是正方形，

∵∠ADC=130°，

∴∠DAB=180°﹣130°=50°

∴∠FAD+∠EAB=40°，

∵∠FAD=∠EAB，

∴∠FAD= ×40°=20°．

【解析】（1）由題意易證∠ADF=∠ABE，又因為DF=EB，AD=AB，于是可△FAD≌△EAB，；（2）由已知可得四邊形AECF對角線互相垂直平分，只要∠EAF=90°即得四邊形AECF是正方形，由∠FAD=∠EAB，再證得∠DAB=50°，可得∠FAD+∠EAB=40°，于是∠FAD= ×40°=20°．
【考點精析】本題主要考查了菱形的性質和正方形的判定方法的相關知識點，需要掌握菱形的四條邊都相等；菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形被兩條對角線分成四個全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半；先判定一個四邊形是矩形，再判定出有一組鄰邊相等；先判定一個四邊形是菱形，再判定出有一個角是直角才能正確解答此題．