Question

【題目】如圖，、分別是邊長為的等邊的邊，上的動點，點從頂點，點從頂點同時出發，分別沿，邊運動，點到點停止，點到點停止.社運動時間為秒，他們的速度都為.

（1）連接，相交于，在點，的運動過程中的大小是否變化？若變化，說明理由；若不變，求出它的度數；

（2）當取何值時，是直角三角形.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或

【解析】

（1）利用等邊三角形的性質可證明△APC≌△BQA，則可求得∠BAQ=∠ACP，再利用三角形外角的性質可證得∠CMQ=60°；
（2）可用t分別表示出BP和BQ，分∠BPQ=90°和∠BPQ=90°兩種情況，分別利用直角三角形的性質可得到關于t的方程，則可求得t的值；

（1）∵△ABC為等邊三角形，

∴AB=AC，∠B=∠PAC=60°，
∵點P從頂點A，點Q從頂點B同時出發，且它們的速度都為1cm/s，
∴AP=BQ，
在△APC和△BQA中，
∴△APC≌△BQA（SAS），
∴∠BAQ=∠ACP，
∴∠CMQ=∠CAQ+∠ACP=∠BAQ+∠CAQ=∠BAC=60°，
∴在P、Q運動的過程中，∠CMQ不變，∠CMQ=60°；
（2）∵運動時間為ts，則AP=BQ=t，
∴PB=4-t，
①當∠PQB=90°時，
∵∠B=60°，
∴PB=2BQ，
∴4-t=2t，解得，
②當∠BPQ=90°時，
∵∠B=60°，
∴BQ=2PB，
∴t=2（4-t），解得，
∴當t為s或s時，△PBQ為直角三角形；