Question

【題目】如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，點D是AB的中點，點P是AB上的一個動點（點P與點A、B不重合），矩形PECF的頂點E，F分別在BC，AC上．

（1）探究DE與DF的關系，并給出證明；

（2）當點P滿足什么條件時，線段EF的長最短？說明理由．

Answer 1

【答案】（1）DE=DF，DE⊥DF，證明見解析；（2）點P與點D重合時，線段EF最短，證明見解析

【解析】

（1）連接CD，首先根據△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，點D是AB的中點得到CD=AD，CD⊥AD，然后根據四邊形PECF是矩形得到△APF是等腰直角三角形，從而得到△DCE≌△DAF，證得DE=DF，DE⊥DF；
（2）根據DE=DF，DE⊥DF，得到EF=DE=DF，從而得到當DE和DF同時最短時，EF最短得到此時點P與點D重合線段EF最短．

（1）DE=DF，DE⊥DF，

證明：連接CD，

∵△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，點D是AB的中點，

∴CD=AD，CD⊥AD，∠DCE=45°，

∴∠CDA=90°，

∵四邊形PECF是矩形，

∴CE=FP，FP∥CB，

∴△APF是等腰直角三角形，

∴AF=PF=EC，

∴∠A=∠DCE=45°，

∴△DCE≌△DAF（SAS），

∴DE=DF，∠ADF=∠CDE，

∵∠EDF=∠EDC+∠CDF=∠CDF+∠ADF=90°，

∴DE⊥DF；

（2）∵DE=DF，DE⊥DF，

∴EF=DE=DF，

∴當DE和DF同時最短時，EF最短，

∴當DF⊥AC，DE⊥AB時，二者最短，

∴此時點P與點D重合，

∴點P與點D重合時，線段EF最短．