Question

【題目】如圖，AB∥CD，以點A為圓心，小于AC長為半徑作圓弧，分別交AB，AC于E，F兩點，再分別以E，F為圓心，大于EF長為半徑作圓弧，兩條圓弧交于點P，作射線AP，交CD于點M。

（1）若∠ACD=114°，求∠MAB的度數；

（2）若CN⊥AM，垂足為N，求證：△ACN≌△MCN。

Answer 1

【答案】（1）33°（2）證明見解析

【解析】（1）解：∵AB∥CD，∴∠ACD+∠CAB=180°。

又∵∠ACD=114°，∴∠CAB=66°。

由作法知，AM是∠ACB的平分線，∴∠AMB=∠CAB=33°。

（2）證明：∵AM平分∠CAB，∴∠CAM=∠MAB，

∵AB∥CD，∴∠MAB=∠CMA。∴∠CAN=∠CMN。

又∵CN⊥AM，∴∠ANC=∠MNC。

在△ACN和△MCN中，

∵∠ANC=∠MNC，∠CAN=∠CMN，CN=CN，∴△ACN≌△MCN（AAS）。

（1）由作法知，AM是∠ACB的平分線，由AB∥CD，根據兩直線平行同旁內角互補的性質，得∠CAB=66°，從而求得∠MAB的度數。

（2）要證△ACN≌△MCN，由已知，CN⊥AM即∠ANC=∠MNC=90°；又CN是公共邊，故只要再有一邊或一角相等即可，考慮到AB∥CD和AM是∠ACB的平分線，有∠CAN=∠MAB =∠CMN。

從而得證。